Cálculo Ejemplos

$f (x) = 3 e^{\frac{1}{3} x + 1}$

Paso 1

Escribe $f (x) = 3 e^{\frac{1}{3} x + 1}$ como una ecuación.

$y = 3 e^{\frac{1}{3} x + 1}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = 3 e^{\frac{1}{3} y + 1}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $3 e^{\frac{1}{3} y + 1} = x$ .

$3 e^{\frac{1}{3} y + 1} = x$

Paso 3.2

Divide cada término en $3 e^{\frac{1}{3} y + 1} = x$ por $3$ y simplifica.

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $3 e^{\frac{1}{3} y + 1} = x$ por $3$ .

$\frac{3 e^{\frac{1}{3} y + 1}}{3} = \frac{x}{3}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 e^{\frac{1}{3} y + 1}}{3} = \frac{x}{3}$

Paso 3.2.2.1.2

Divide $e^{\frac{1}{3} y + 1}$ por $1$ .

$e^{\frac{1}{3} y + 1} = \frac{x}{3}$

Paso 3.2.2.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $y$ .

$e^{\frac{y}{3} + 1} = \frac{x}{3}$

Paso 3.3

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{\frac{y}{3} + 1}) = \ln (\frac{x}{3})$

Paso 3.4

Expande el lado izquierdo.

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Paso 3.4.1

Expande $\ln (e^{\frac{y}{3} + 1})$ ; para ello, mueve $\frac{y}{3} + 1$ fuera del logaritmo.

$(\frac{y}{3} + 1) \ln (e) = \ln (\frac{x}{3})$

Paso 3.4.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$(\frac{y}{3} + 1) \cdot 1 = \ln (\frac{x}{3})$

Paso 3.4.3

Multiplica $\frac{y}{3} + 1$ por $1$ .

$\frac{y}{3} + 1 = \ln (\frac{x}{3})$

Paso 3.5

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{y}{3} = \ln (\frac{x}{3}) - 1$

Paso 3.6

Multiplica ambos lados de la ecuación por $3$ .

$3 \frac{y}{3} = 3 (\ln (\frac{x}{3}) - 1)$

Paso 3.7

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.7.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.7.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.7.1.1.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{y}{3} = 3 (\ln (\frac{x}{3}) - 1)$

Paso 3.7.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y = 3 (\ln (\frac{x}{3}) - 1)$

Paso 3.7.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.7.2.1

Simplifica $3 (\ln (\frac{x}{3}) - 1)$ .

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Paso 3.7.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = 3 \ln (\frac{x}{3}) + 3 \cdot - 1$

Paso 3.7.2.1.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$y = 3 \ln (\frac{x}{3}) - 3$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 3 \ln (\frac{x}{3}) - 3$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = 3 \ln (\frac{x}{3}) - 3$ es la inversa de $f (x) = 3 e^{\frac{1}{3} x + 1}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 \ln (\frac{3 e^{\frac{1}{3} x + 1}}{3}) - 3$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.3.1.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 \ln (\frac{3 e^{\frac{1}{3} x + 1}}{3}) - 3$

Paso 5.2.3.1.2

Divide $e^{\frac{1}{3} x + 1}$ por $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 \ln (e^{\frac{1}{3} x + 1}) - 3$

Paso 5.2.3.2

Usa las reglas de logaritmos para mover $\frac{1}{3} x + 1$ fuera del exponente.

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 ((\frac{1}{3} x + 1) \ln (e)) - 3$

Paso 5.2.3.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $x$ .

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 ((\frac{x}{3} + 1) \ln (e)) - 3$

Paso 5.2.3.4

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 ((\frac{x}{3} + 1) \cdot 1) - 3$

Paso 5.2.3.5

Multiplica $\frac{x}{3} + 1$ por $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 (\frac{x}{3} + 1) - 3$

Paso 5.2.3.6

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 (\frac{x}{3}) + 3 \cdot 1 - 3$

Paso 5.2.3.7

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.3.7.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 (\frac{x}{3}) + 3 \cdot 1 - 3$

Paso 5.2.3.7.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = x + 3 \cdot 1 - 3$

Paso 5.2.3.8

Multiplica $3$ por $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = x + 3 - 3$

Paso 5.2.4

Combina los términos opuestos en $x + 3 - 3$ .

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Paso 5.2.4.1

Resta $3$ de $3$ .

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = x + 0$

Paso 5.2.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\frac{1}{3} \cdot (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) + 1}$

Paso 5.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1.1

Simplifica $3 \ln (\frac{x}{3})$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\frac{1}{3} \cdot (\ln ({(\frac{x}{3})}^{3}) - 3) + 1}$

Paso 5.3.3.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{x}{3}$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\frac{1}{3} \cdot (\ln (\frac{x^{3}}{3^{3}}) - 3) + 1}$

Paso 5.3.3.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\frac{1}{3} \cdot (\ln (\frac{x^{3}}{27}) - 3) + 1}$

Paso 5.3.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\frac{1}{3} \cdot \ln (\frac{x^{3}}{27}) + \frac{1}{3} \cdot - 3 + 1}$

Paso 5.3.3.3

Simplifica $\frac{1}{3} \ln (\frac{x^{3}}{27})$ al mover $\frac{1}{3}$ dentro del algoritmo.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{3}}{27})}^{\frac{1}{3}}) + \frac{1}{3} \cdot - 3 + 1}$

Paso 5.3.3.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.3.4.1

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{3}}{27})}^{\frac{1}{3}}) + \frac{1}{3} \cdot (3 (- 1)) + 1}$

Paso 5.3.3.4.2

Cancela el factor común.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{3}}{27})}^{\frac{1}{3}}) + \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 1) + 1}$

Paso 5.3.3.4.3

Reescribe la expresión.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{3}}{27})}^{\frac{1}{3}}) - 1 + 1}$

Paso 5.3.3.5

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.5.1

Aplica la regla del producto a $\frac{x^{3}}{27}$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{{(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{27^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

Paso 5.3.3.5.2

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.3.5.2.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

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Paso 5.3.3.5.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x^{3 (\frac{1}{3})}}{27^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

Paso 5.3.3.5.2.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.3.5.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x^{3 (\frac{1}{3})}}{27^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

Paso 5.3.3.5.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x^{1}}{27^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

Paso 5.3.3.5.2.2

Simplifica.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{27^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

Paso 5.3.3.5.3

Simplifica el denominador.

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Paso 5.3.3.5.3.1

Reescribe $27$ como $3^{3}$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{{(3^{3})}^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

Paso 5.3.3.5.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3^{3 (\frac{1}{3})}}) - 1 + 1}$

Paso 5.3.3.5.3.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.3.5.3.3.1

Cancela el factor común.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3^{3 (\frac{1}{3})}}) - 1 + 1}$

Paso 5.3.3.5.3.3.2

Reescribe la expresión.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3^{1}}) - 1 + 1}$

Paso 5.3.3.5.3.4

Evalúa el exponente.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3}) - 1 + 1}$

Paso 5.3.4

Combina los términos opuestos en $\ln (\frac{x}{3}) - 1 + 1$ .

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Paso 5.3.4.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3}) + 0}$

Paso 5.3.4.2

Suma $\ln (\frac{x}{3})$ y $0$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3})}$

Paso 5.3.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 (\frac{x}{3})$

Paso 5.3.6

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.6.1

Cancela el factor común.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 (\frac{x}{3})$

Paso 5.3.6.2

Reescribe la expresión.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = 3 \ln (\frac{x}{3}) - 3$ es la inversa de $f (x) = 3 e^{\frac{1}{3} x + 1}$ .

$f^{- 1} (x) = 3 \ln (\frac{x}{3}) - 3$