Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{3}{2} x + 3$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{3}{2} x + 3$ como una ecuación.

$y = \frac{3}{2} x + 3$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{3}{2} y + 3$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{3}{2} y + 3 = x$ .

$\frac{3}{2} y + 3 = x$

Paso 3.2

Combina $\frac{3}{2}$ y $y$ .

$\frac{3 y}{2} + 3 = x$

Paso 3.3

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{3 y}{2} = x - 3$

Paso 3.4

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 y}{2} = \frac{2}{3} (x - 3)$

Paso 3.5

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.1.1

Simplifica $\frac{2}{3} \cdot \frac{3 y}{2}$ .

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Paso 3.5.1.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 y}{2} = \frac{2}{3} (x - 3)$

Paso 3.5.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} (3 y) = \frac{2}{3} (x - 3)$

Paso 3.5.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.5.1.1.2.1

Factoriza $3$ de $3 y$ .

$\frac{1}{3} (3 (y)) = \frac{2}{3} (x - 3)$

Paso 3.5.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3} (3 y) = \frac{2}{3} (x - 3)$

Paso 3.5.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{2}{3} (x - 3)$

Paso 3.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.2.1

Simplifica $\frac{2}{3} (x - 3)$ .

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Paso 3.5.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{2}{3} x + \frac{2}{3} \cdot - 3$

Paso 3.5.2.1.2

Combina $\frac{2}{3}$ y $x$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot - 3$

Paso 3.5.2.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.5.2.1.3.1

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot (3 (- 1))$

Paso 3.5.2.1.3.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot (3 \cdot - 1)$

Paso 3.5.2.1.3.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{2 x}{3} + 2 \cdot - 1$

Paso 3.5.2.1.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y = \frac{2 x}{3} - 2$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{3} - 2$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{3} - 2$ es la inversa de $f (x) = \frac{3}{2} x + 3$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{2 (\frac{3}{2} x + 3)}{3} - 2$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.3.1.1

Combina $\frac{3}{2}$ y $x$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{2 (\frac{3 x}{2} + 3)}{3} - 2$

Paso 5.2.3.1.2

Factoriza $3$ de $\frac{3 x}{2} + 3$ .

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Paso 5.2.3.1.2.1

Factoriza $3$ de $\frac{3 x}{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{2 (3 (\frac{x}{2}) + 3)}{3} - 2$

Paso 5.2.3.1.2.2

Factoriza $3$ de $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{2 (3 (\frac{x}{2}) + 3 (1))}{3} - 2$

Paso 5.2.3.1.2.3

Factoriza $3$ de $3 \frac{x}{2} + 3 (1)$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{2 (3 (\frac{x}{2} + 1))}{3} - 2$

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{2 \cdot (3 (\frac{x}{2} + 1))}{3} - 2$

Paso 5.2.3.1.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{6 (\frac{x}{2} + 1)}{3} - 2$

Paso 5.2.3.1.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{6 (\frac{x}{2} + \frac{2}{2})}{3} - 2$

Paso 5.2.3.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{6 (\frac{x + 2}{2})}{3} - 2$

Paso 5.2.3.2

Combina $6$ y $\frac{x + 2}{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{\frac{6 (x + 2)}{2}}{3} - 2$

Paso 5.2.3.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.2.3.3.1

Reduce la expresión $\frac{6 (x + 2)}{2}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.2.3.3.1.1

Factoriza $2$ de $6 (x + 2)$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{\frac{2 (3 (x + 2))}{2}}{3} - 2$

Paso 5.2.3.3.1.2

Factoriza $2$ de $2$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{\frac{2 (3 (x + 2))}{2 (1)}}{3} - 2$

Paso 5.2.3.3.1.3

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{\frac{2 (3 (x + 2))}{2 \cdot 1}}{3} - 2$

Paso 5.2.3.3.1.4

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{\frac{3 (x + 2)}{1}}{3} - 2$

Paso 5.2.3.3.2

Divide $3 (x + 2)$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{3 (x + 2)}{3} - 2$

Paso 5.2.3.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.3.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = \frac{3 (x + 2)}{3} - 2$

Paso 5.2.3.4.2

Divide $x + 2$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = x + 2 - 2$

Paso 5.2.4

Combina los términos opuestos en $x + 2 - 2$ .

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Paso 5.2.4.1

Resta $2$ de $2$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = x + 0$

Paso 5.2.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{2} x + 3) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{2 x}{3} - 2)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{2 x}{3} - 2) = \frac{3}{2} \cdot (\frac{2 x}{3} - 2) + 3$

Paso 5.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{2 x}{3} - 2) = \frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2} \cdot - 2 + 3$

Paso 5.3.3.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.3.2.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{2 x}{3} - 2) = \frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3} + \frac{3}{2} \cdot - 2 + 3$

Paso 5.3.3.2.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{2 x}{3} - 2) = \frac{1}{2} \cdot (2 x) + \frac{3}{2} \cdot - 2 + 3$

Paso 5.3.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.3.3.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$f (\frac{2 x}{3} - 2) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x)) + \frac{3}{2} \cdot - 2 + 3$

Paso 5.3.3.3.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{2 x}{3} - 2) = \frac{1}{2} \cdot (2 x) + \frac{3}{2} \cdot - 2 + 3$

Paso 5.3.3.3.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{2 x}{3} - 2) = x + \frac{3}{2} \cdot - 2 + 3$

Paso 5.3.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.3.4.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$f (\frac{2 x}{3} - 2) = x + \frac{3}{2} \cdot (2 (- 1)) + 3$

Paso 5.3.3.4.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{2 x}{3} - 2) = x + \frac{3}{2} \cdot (2 \cdot - 1) + 3$

Paso 5.3.3.4.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{2 x}{3} - 2) = x + 3 \cdot - 1 + 3$

Paso 5.3.3.5

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f (\frac{2 x}{3} - 2) = x - 3 + 3$

Paso 5.3.4

Combina los términos opuestos en $x - 3 + 3$ .

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Paso 5.3.4.1

Suma $- 3$ y $3$ .

$f (\frac{2 x}{3} - 2) = x + 0$

Paso 5.3.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (\frac{2 x}{3} - 2) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{3} - 2$ es la inversa de $f (x) = \frac{3}{2} x + 3$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{3} - 2$