Cálculo Ejemplos

$f (x) = e^{2 x} + 1$

Paso 1

Escribe $f (x) = e^{2 x} + 1$ como una ecuación.

$y = e^{2 x} + 1$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = e^{2 y} + 1$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $e^{2 y} + 1 = x$ .

$e^{2 y} + 1 = x$

Paso 3.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$e^{2 y} = x - 1$

Paso 3.3

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{2 y}) = \ln (x - 1)$

Paso 3.4

Expande el lado izquierdo.

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Paso 3.4.1

Expande $\ln (e^{2 y})$ ; para ello, mueve $2 y$ fuera del logaritmo.

$2 y \ln (e) = \ln (x - 1)$

Paso 3.4.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$2 y \cdot 1 = \ln (x - 1)$

Paso 3.4.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 y = \ln (x - 1)$

Paso 3.5

Divide cada término en $2 y = \ln (x - 1)$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.5.1

Divide cada término en $2 y = \ln (x - 1)$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x - 1)}{2}$

Paso 3.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x - 1)}{2}$

Paso 3.5.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (x - 1)}{2}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 1)}{2}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 1)}{2}$ es la inversa de $f (x) = e^{2 x} + 1$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (e^{2 x} + 1)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \frac{\ln ((e^{2 x} + 1) - 1)}{2}$

Paso 5.2.3

Simplifica $\frac{1}{2} \ln (e^{2 x} + 1 - 1)$ al mover $\frac{1}{2}$ dentro del algoritmo.

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + 1 - 1)}^{\frac{1}{2}})$

Paso 5.2.4

Combina los términos opuestos en $e^{2 x} + 1 - 1$ .

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Paso 5.2.4.1

Resta $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + 0)}^{\frac{1}{2}})$

Paso 5.2.4.2

Suma $e^{2 x}$ y $0$ .

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 5.2.5

Multiplica los exponentes en ${(e^{2 x})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 5.2.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \ln (e^{2 x (\frac{1}{2})})$

Paso 5.2.5.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.5.2.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \ln (e^{2 (x) (\frac{1}{2})})$

Paso 5.2.5.2.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \ln (e^{2 x (\frac{1}{2})})$

Paso 5.2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \ln (e^{x})$

Paso 5.2.6

Usa las reglas de logaritmos para mover $x$ fuera del exponente.

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = x \ln (e)$

Paso 5.2.7

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = x \cdot 1$

Paso 5.2.8

Multiplica $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{\ln (x - 1)}{2})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{\ln (x - 1)}{2}) = e^{2 (\frac{\ln (x - 1)}{2})} + 1$

Paso 5.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.3.1.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\ln (x - 1)}{2}) = e^{2 (\frac{\ln (x - 1)}{2})} + 1$

Paso 5.3.3.1.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\ln (x - 1)}{2}) = e^{\ln (x - 1)} + 1$

Paso 5.3.3.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (\frac{\ln (x - 1)}{2}) = x - 1 + 1$

Paso 5.3.4

Combina los términos opuestos en $x - 1 + 1$ .

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Paso 5.3.4.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$f (\frac{\ln (x - 1)}{2}) = x + 0$

Paso 5.3.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (\frac{\ln (x - 1)}{2}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 1)}{2}$ es la inversa de $f (x) = e^{2 x} + 1$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 1)}{2}$