Cálculo Ejemplos

$f (x) = - \frac{2}{3} x + 6$

Paso 1

Escribe $f (x) = - \frac{2}{3} x + 6$ como una ecuación.

$y = - \frac{2}{3} x + 6$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = - \frac{2}{3} y + 6$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $- \frac{2}{3} y + 6 = x$ .

$- \frac{2}{3} y + 6 = x$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Combina $y$ y $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{y \cdot 2}{3} + 6 = x$

Paso 3.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$- \frac{2 y}{3} + 6 = x$

Paso 3.3

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{2 y}{3} = x - 6$

Paso 3.4

Multiplica ambos lados de la ecuación por $- \frac{3}{2}$ .

$- \frac{3}{2} (- \frac{2 y}{3}) = - \frac{3}{2} (x - 6)$

Paso 3.5

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.1.1

Simplifica $- \frac{3}{2} (- \frac{2 y}{3})$ .

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Paso 3.5.1.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.5.1.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3}{2}$ al numerador.

$\frac{- 3}{2} (- \frac{2 y}{3}) = - \frac{3}{2} (x - 6)$

Paso 3.5.1.1.1.2

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2 y}{3}$ al numerador.

$\frac{- 3}{2} \cdot \frac{- 2 y}{3} = - \frac{3}{2} (x - 6)$

Paso 3.5.1.1.1.3

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$\frac{3 (- 1)}{2} \cdot \frac{- 2 y}{3} = - \frac{3}{2} (x - 6)$

Paso 3.5.1.1.1.4

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot - 1}{2} \cdot \frac{- 2 y}{3} = - \frac{3}{2} (x - 6)$

Paso 3.5.1.1.1.5

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{2} (- 2 y) = - \frac{3}{2} (x - 6)$

Paso 3.5.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.1.1.2.1

Factoriza $2$ de $- 2 y$ .

$\frac{- 1}{2} (2 (- y)) = - \frac{3}{2} (x - 6)$

Paso 3.5.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{2} (2 (- y)) = - \frac{3}{2} (x - 6)$

Paso 3.5.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$- - y = - \frac{3}{2} (x - 6)$

Paso 3.5.1.1.3

Multiplica.

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Paso 3.5.1.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 y = - \frac{3}{2} (x - 6)$

Paso 3.5.1.1.3.2

Multiplica $y$ por $1$ .

$y = - \frac{3}{2} (x - 6)$

Paso 3.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.2.1

Simplifica $- \frac{3}{2} (x - 6)$ .

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Paso 3.5.2.1.1

Simplifica los términos.

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Paso 3.5.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} \cdot - 6$

Paso 3.5.2.1.1.2

Combina $x$ y $\frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} - \frac{3}{2} \cdot - 6$

Paso 3.5.2.1.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.2.1.1.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3}{2}$ al numerador.

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot - 6$

Paso 3.5.2.1.1.3.2

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (2 (- 3))$

Paso 3.5.2.1.1.3.3

Cancela el factor común.

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (2 \cdot - 3)$

Paso 3.5.2.1.1.3.4

Reescribe la expresión.

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} - 3 \cdot - 3$

Paso 3.5.2.1.1.4

Multiplica $- 3$ por $- 3$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + 9$

Paso 3.5.2.1.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + 9$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{3 x}{2} + 9$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = - \frac{3 x}{2} + 9$ es la inversa de $f (x) = - \frac{2}{3} x + 6$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{3 (- \frac{2}{3} x + 6)}{2} + 9$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.3.1.1

Combina $x$ y $\frac{2}{3}$ .

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{3 (- \frac{x \cdot 2}{3} + 6)}{2} + 9$

Paso 5.2.3.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{3 (- \frac{2 \cdot x}{3} + 6)}{2} + 9$

Paso 5.2.3.1.3

Factoriza $2$ de $- \frac{2 x}{3} + 6$ .

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Paso 5.2.3.1.3.1

Factoriza $2$ de $- \frac{2 x}{3}$ .

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{3 (2 (- \frac{x}{3}) + 6)}{2} + 9$

Paso 5.2.3.1.3.2

Factoriza $2$ de $6$ .

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{3 (2 (- \frac{x}{3}) + 2 (3))}{2} + 9$

Paso 5.2.3.1.3.3

Factoriza $2$ de $2 (- \frac{x}{3}) + 2 (3)$ .

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{3 (2 (- \frac{x}{3} + 3))}{2} + 9$

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{3 \cdot (2 (- \frac{x}{3} + 3))}{2} + 9$

Paso 5.2.3.1.4

Multiplica $3$ por $2$ .

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{6 (- \frac{x}{3} + 3)}{2} + 9$

Paso 5.2.3.1.5

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{6 (- \frac{x}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3})}{2} + 9$

Paso 5.2.3.1.6

Combina $3$ y $\frac{3}{3}$ .

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{6 (- \frac{x}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3})}{2} + 9$

Paso 5.2.3.1.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{6 (\frac{- x + 3 \cdot 3}{3})}{2} + 9$

Paso 5.2.3.1.8

Multiplica $3$ por $3$ .

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{6 (\frac{- x + 9}{3})}{2} + 9$

Paso 5.2.3.2

Combina $6$ y $\frac{- x + 9}{3}$ .

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{\frac{6 (- x + 9)}{3}}{2} + 9$

Paso 5.2.3.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.2.3.3.1

Reduce la expresión $\frac{6 (- x + 9)}{3}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.2.3.3.1.1

Factoriza $3$ de $6 (- x + 9)$ .

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{\frac{3 (2 (- x + 9))}{3}}{2} + 9$

Paso 5.2.3.3.1.2

Factoriza $3$ de $3$ .

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{\frac{3 (2 (- x + 9))}{3 (1)}}{2} + 9$

Paso 5.2.3.3.1.3

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{\frac{3 (2 (- x + 9))}{3 \cdot 1}}{2} + 9$

Paso 5.2.3.3.1.4

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{\frac{2 (- x + 9)}{1}}{2} + 9$

Paso 5.2.3.3.2

Divide $2 (- x + 9)$ por $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{2 (- x + 9)}{2} + 9$

Paso 5.2.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.3.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{2 (- x + 9)}{2} + 9$

Paso 5.2.3.4.2

Divide $- x + 9$ por $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - (- x + 9) + 9$

Paso 5.2.3.5

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = x - 1 \cdot 9 + 9$

Paso 5.2.3.6

Multiplica $- - x$ .

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Paso 5.2.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = 1 x - 1 \cdot 9 + 9$

Paso 5.2.3.6.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = x - 1 \cdot 9 + 9$

Paso 5.2.3.7

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = x - 9 + 9$

Paso 5.2.4

Combina los términos opuestos en $x - 9 + 9$ .

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Paso 5.2.4.1

Suma $- 9$ y $9$ .

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = x + 0$

Paso 5.2.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (- \frac{3 x}{2} + 9)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{3 x}{2} + 9) + 6$

Paso 5.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{3 x}{2}) - \frac{2}{3} \cdot 9 + 6$

Paso 5.3.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.3.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2}{3}$ al numerador.

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = \frac{- 2}{3} \cdot (- \frac{3 x}{2}) - \frac{2}{3} \cdot 9 + 6$

Paso 5.3.3.2.2

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3 x}{2}$ al numerador.

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = \frac{- 2}{3} \cdot \frac{- 3 x}{2} - \frac{2}{3} \cdot 9 + 6$

Paso 5.3.3.2.3

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = \frac{2 (- 1)}{3} \cdot \frac{- 3 x}{2} - \frac{2}{3} \cdot 9 + 6$

Paso 5.3.3.2.4

Cancela el factor común.

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = \frac{2 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{- 3 x}{2} - \frac{2}{3} \cdot 9 + 6$

Paso 5.3.3.2.5

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = \frac{- 1}{3} \cdot (- 3 x) - \frac{2}{3} \cdot 9 + 6$

Paso 5.3.3.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.3.3.1

Factoriza $3$ de $- 3 x$ .

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = \frac{- 1}{3} \cdot (3 (- x)) - \frac{2}{3} \cdot 9 + 6$

Paso 5.3.3.3.2

Cancela el factor común.

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = \frac{- 1}{3} \cdot (3 (- x)) - \frac{2}{3} \cdot 9 + 6$

Paso 5.3.3.3.3

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = - 1 (- x) - \frac{2}{3} \cdot 9 + 6$

Paso 5.3.3.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = 1 x - \frac{2}{3} \cdot 9 + 6$

Paso 5.3.3.5

Multiplica $x$ por $1$ .

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = x - \frac{2}{3} \cdot 9 + 6$

Paso 5.3.3.6

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.3.6.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2}{3}$ al numerador.

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = x + \frac{- 2}{3} \cdot 9 + 6$

Paso 5.3.3.6.2

Factoriza $3$ de $9$ .

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = x + \frac{- 2}{3} \cdot (3 (3)) + 6$

Paso 5.3.3.6.3

Cancela el factor común.

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = x + \frac{- 2}{3} \cdot (3 \cdot 3) + 6$

Paso 5.3.3.6.4

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = x - 2 \cdot 3 + 6$

Paso 5.3.3.7

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = x - 6 + 6$

Paso 5.3.4

Combina los términos opuestos en $x - 6 + 6$ .

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Paso 5.3.4.1

Suma $- 6$ y $6$ .

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = x + 0$

Paso 5.3.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = - \frac{3 x}{2} + 9$ es la inversa de $f (x) = - \frac{2}{3} x + 6$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{3 x}{2} + 9$