Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt[3]{3 x - 2}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \sqrt[3]{3 x - 2}$ como una ecuación.

$y = \sqrt[3]{3 x - 2}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \sqrt[3]{3 y - 2}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\sqrt[3]{3 y - 2} = x$ .

$\sqrt[3]{3 y - 2} = x$

Paso 3.2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[3]{3 y - 2}}^{3} = x^{3}$

Paso 3.3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{3 y - 2}$ como ${(3 y - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(3 y - 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = x^{3}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica ${({(3 y - 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(3 y - 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 y - 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Paso 3.3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(3 y - 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Paso 3.3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(3 y - 2)}^{1} = x^{3}$

Paso 3.3.2.1.2

Simplifica.

$3 y - 2 = x^{3}$

Paso 3.4

Resuelve $y$

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Paso 3.4.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$3 y = x^{3} + 2$

Paso 3.4.2

Divide cada término en $3 y = x^{3} + 2$ por $3$ y simplifica.

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Paso 3.4.2.1

Divide cada término en $3 y = x^{3} + 2$ por $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{3}$

Paso 3.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y}{3} = \frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{3}$

Paso 3.4.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{3}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{3}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{3}$ es la inversa de $f (x) = \sqrt[3]{3 x - 2}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x - 2})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x - 2}) = \frac{{(\sqrt[3]{3 x - 2})}^{3}}{3} + \frac{2}{3}$

Paso 5.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x - 2}) = \frac{{(\sqrt[3]{3 x - 2})}^{3} + 2}{3}$

Paso 5.2.4

Reescribe ${\sqrt[3]{3 x - 2}}^{3}$ como $3 x - 2$ .

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Paso 5.2.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{3 x - 2}$ como ${(3 x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x - 2}) = \frac{{({(3 x - 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3} + 2}{3}$

Paso 5.2.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x - 2}) = \frac{{(3 x - 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 2}{3}$

Paso 5.2.4.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x - 2}) = \frac{{(3 x - 2)}^{\frac{3}{3}} + 2}{3}$

Paso 5.2.4.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.4.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x - 2}) = \frac{{(3 x - 2)}^{\frac{3}{3}} + 2}{3}$

Paso 5.2.4.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x - 2}) = \frac{(3 x - 2) + 2}{3}$

Paso 5.2.4.5

Simplifica.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x - 2}) = \frac{3 x - 2 + 2}{3}$

Paso 5.2.5

Simplifica los términos.

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Paso 5.2.5.1

Combina los términos opuestos en $3 x - 2 + 2$ .

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Paso 5.2.5.1.1

Suma $- 2$ y $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x - 2}) = \frac{3 x + 0}{3}$

Paso 5.2.5.1.2

Suma $3 x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x - 2}) = \frac{3 x}{3}$

Paso 5.2.5.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.5.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x - 2}) = \frac{3 x}{3}$

Paso 5.2.5.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x - 2}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{3})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{3}) = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{3}) - 2}$

Paso 5.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{3}) = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{3}}{3}) + 3 (\frac{2}{3}) - 2}$

Paso 5.3.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.4.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{3}) = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{3}}{3}) + 3 (\frac{2}{3}) - 2}$

Paso 5.3.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{3}) = \sqrt[3]{x^{3} + 3 (\frac{2}{3}) - 2}$

Paso 5.3.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.5.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{3}) = \sqrt[3]{x^{3} + 3 (\frac{2}{3}) - 2}$

Paso 5.3.5.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{3}) = \sqrt[3]{x^{3} + 2 - 2}$

Paso 5.3.6

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 5.3.6.1

Resta $2$ de $2$ .

$f (\frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{3}) = \sqrt[3]{x^{3} + 0}$

Paso 5.3.6.2

Suma $x^{3}$ y $0$ .

$f (\frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{3}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Paso 5.3.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$f (\frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{3}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{3}$ es la inversa de $f (x) = \sqrt[3]{3 x - 2}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{3}$