Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$

Paso 1

Escribe $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ como una ecuación.

$y = x^{\frac{2}{3}}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = y^{\frac{2}{3}}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $y^{\frac{2}{3}} = x$ .

$y^{\frac{2}{3}} = x$

Paso 3.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $\frac{3}{2}$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm x^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1

Simplifica ${(y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 3.3.1.1

Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 3.3.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm x^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.3.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$y^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm x^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm x^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.3.1.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm x^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.3.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$y^{1} = \pm x^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.3.1.2

Simplifica.

$y = \pm x^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = x^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - x^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = x^{\frac{3}{2}}$

$y = - x^{\frac{3}{2}}$

$y = x^{\frac{3}{2}}$

$y = - x^{\frac{3}{2}}$

$y = x^{\frac{3}{2}}$

$y = - x^{\frac{3}{2}}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = x^{\frac{3}{2}}, - x^{\frac{3}{2}}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = x^{\frac{3}{2}}, - x^{\frac{3}{2}}$ es la inversa de $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

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Paso 5.1

El dominio de la inversa es el rango de la función original y viceversa. Obtén el dominio y el rango de $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ y $f^{- 1} (x) = x^{\frac{3}{2}}, - x^{\frac{3}{2}}$ y compáralos.

Paso 5.2

Obtén el rango de $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

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Paso 5.2.1

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$[0, \infty)$

Paso 5.3

Obtén el dominio de $x^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 5.3.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\sqrt{x^{3}}$

Paso 5.3.2

Establece el radicando en $\sqrt{x^{3}}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x^{3} \geq 0$

Paso 5.3.3

Resuelve $x$

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Paso 5.3.3.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la desigualdad para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\sqrt[3]{x^{3}} \geq \sqrt[3]{0}$

Paso 5.3.3.2

Simplifica la ecuación.

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Paso 5.3.3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.3.2.1.1

Retira los términos de abajo del radical.

$x \geq \sqrt[3]{0}$

Paso 5.3.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.2.2.1

Simplifica $\sqrt[3]{0}$ .

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Paso 5.3.3.2.2.1.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$x \geq \sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 5.3.3.2.2.1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x \geq 0$

Paso 5.3.4

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$[0, \infty)$

Paso 5.4

Obtén el dominio de $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

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Paso 5.4.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\sqrt[3]{x^{2}}$

Paso 5.4.2

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

$(- \infty, \infty)$

Paso 5.5

Como el dominio de $f^{- 1} (x) = x^{\frac{3}{2}}, - x^{\frac{3}{2}}$ es el rango de $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ y el rango de $f^{- 1} (x) = x^{\frac{3}{2}}, - x^{\frac{3}{2}}$ es el dominio de $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ , entonces $f^{- 1} (x) = x^{\frac{3}{2}}, - x^{\frac{3}{2}}$ es la inversa de $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{\frac{3}{2}}, - x^{\frac{3}{2}}$

Paso 6