Cálculo Ejemplos

$f (x) = \cos (9 x)$

Paso 1

Escribe $f (x) = \cos (9 x)$ como una ecuación.

$y = \cos (9 x)$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \cos (9 y)$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\cos (9 y) = x$ .

$\cos (9 y) = x$

Paso 3.2

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior del coseno.

$9 y = \arccos (x)$

Paso 3.3

Divide cada término en $9 y = \arccos (x)$ por $9$ y simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $9 y = \arccos (x)$ por $9$ .

$\frac{9 y}{9} = \frac{\arccos (x)}{9}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 y}{9} = \frac{\arccos (x)}{9}$

Paso 3.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\arccos (x)}{9}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (x)}{9}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (x)}{9}$ es la inversa de $f (x) = \cos (9 x)$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\cos (9 x))$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\cos (9 x)) = \frac{\arccos (\cos (9 x))}{9}$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{\arccos (x)}{9})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{\arccos (x)}{9}) = \cos (9 (\frac{\arccos (x)}{9}))$

Paso 5.3.3

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 5.3.3.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\arccos (x)}{9}) = \cos (9 (\frac{\arccos (x)}{9}))$

Paso 5.3.3.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\arccos (x)}{9}) = \cos (\arccos (x))$

Paso 5.3.4

Las funciones coseno y arcocoseno son inversas.

$f (\frac{\arccos (x)}{9}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (x)}{9}$ es la inversa de $f (x) = \cos (9 x)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (x)}{9}$