Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{5} - 2$

Paso 1

Escribe $f (x) = x^{5} - 2$ como una ecuación.

$y = x^{5} - 2$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = y^{5} - 2$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $y^{5} - 2 = x$ .

$y^{5} - 2 = x$

Paso 3.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$y^{5} = x + 2$

Paso 3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \sqrt[5]{x + 2}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{x + 2}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{x + 2}$ es la inversa de $f (x) = x^{5} - 2$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (x^{5} - 2)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (x^{5} - 2) = \sqrt[5]{(x^{5} - 2) + 2}$

Paso 5.2.3

Suma $- 2$ y $2$ .

$f^{- 1} (x^{5} - 2) = \sqrt[5]{x^{5} + 0}$

Paso 5.2.4

Suma $x^{5}$ y $0$ .

$f^{- 1} (x^{5} - 2) = \sqrt[5]{x^{5}}$

Paso 5.2.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$f^{- 1} (x^{5} - 2) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\sqrt[5]{x + 2})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\sqrt[5]{x + 2}) = {(\sqrt[5]{x + 2})}^{5} - 2$

Paso 5.3.3

Reescribe ${\sqrt[5]{x + 2}}^{5}$ como $x + 2$ .

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Paso 5.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[5]{x + 2}$ como ${(x + 2)}^{\frac{1}{5}}$ .

$f (\sqrt[5]{x + 2}) = {({(x + 2)}^{\frac{1}{5}})}^{5} - 2$

Paso 5.3.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[5]{x + 2}) = {(x + 2)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} - 2$

Paso 5.3.3.3

Combina $\frac{1}{5}$ y $5$ .

$f (\sqrt[5]{x + 2}) = {(x + 2)}^{\frac{5}{5}} - 2$

Paso 5.3.3.4

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.3.3.4.1

Cancela el factor común.

$f (\sqrt[5]{x + 2}) = {(x + 2)}^{\frac{5}{5}} - 2$

Paso 5.3.3.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\sqrt[5]{x + 2}) = (x + 2) - 2$

Paso 5.3.3.5

Simplifica.

$f (\sqrt[5]{x + 2}) = x + 2 - 2$

Paso 5.3.4

Combina los términos opuestos en $x + 2 - 2$ .

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Paso 5.3.4.1

Resta $2$ de $2$ .

$f (\sqrt[5]{x + 2}) = x + 0$

Paso 5.3.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (\sqrt[5]{x + 2}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{x + 2}$ es la inversa de $f (x) = x^{5} - 2$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{x + 2}$