Cálculo Ejemplos

$f (t) = \frac{t}{e^{t}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ es $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ donde $f (t) = t$ y $g (t) = e^{t}$ .

$\frac{e^{t} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [e^{t}]}{{(e^{t})}^{2}}$

Paso 2

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.1

Multiplica los exponentes en ${(e^{t})}^{2}$ .

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Paso 2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{t} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{t \cdot 2}}$

Paso 2.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $t$ .

$\frac{e^{t} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{e^{t} \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Paso 2.3

Multiplica $e^{t}$ por $1$ .

$\frac{e^{t} - t \frac{d}{d t} [e^{t}]}{e^{2 t}}$

Paso 3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ es $a^{t} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{e^{t} - t e^{t}}{e^{2 t}}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reordena los términos.

$\frac{- e^{t} t + e^{t}}{e^{2 t}}$

Paso 4.2

Factoriza $e^{t}$ de $- e^{t} t + e^{t}$ .

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Paso 4.2.1

Factoriza $e^{t}$ de $- e^{t} t$ .

$\frac{e^{t} (- t) + e^{t}}{e^{2 t}}$

Paso 4.2.2

Multiplica por $1$ .

$\frac{e^{t} (- t) + e^{t} \cdot 1}{e^{2 t}}$

Paso 4.2.3

Factoriza $e^{t}$ de $e^{t} (- t) + e^{t} \cdot 1$ .

$\frac{e^{t} (- t + 1)}{e^{2 t}}$

Paso 4.3

Cancela el factor común de $e^{t}$ y $e^{2 t}$ .

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Paso 4.3.1

Factoriza $e^{2 t}$ de $e^{t} (- t + 1)$ .

$\frac{e^{2 t} (e^{- t} (- t + 1))}{e^{2 t}}$

Paso 4.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.2.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{e^{2 t} (e^{- t} (- t + 1))}{e^{2 t} \cdot 1}$

Paso 4.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{e^{2 t} (e^{- t} (- t + 1))}{e^{2 t} \cdot 1}$

Paso 4.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{e^{- t} (- t + 1)}{1}$

Paso 4.3.2.4

Divide $e^{- t} (- t + 1)$ por $1$ .

$e^{- t} (- t + 1)$

Paso 4.4

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{- t} (- t) + e^{- t} \cdot 1$

Paso 4.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- e^{- t} t + e^{- t} \cdot 1$

Paso 4.6

Multiplica $e^{- t}$ por $1$ .

$- e^{- t} t + e^{- t}$

Paso 4.7

Reordena los factores en $- e^{- t} t + e^{- t}$ .

$- t e^{- t} + e^{- t}$