Cálculo Ejemplos

$f (t) = \frac{\sqrt{2 t + 1}}{{(t + 1)}^{3}}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 t + 1}$ como ${(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(t + 1)}^{3}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ es $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ donde $f (t) = {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}$ y $g (t) = {(t + 1)}^{3}$ .

$\frac{{(t + 1)}^{3} \frac{d}{d t} [{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}] - {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{3}]}{{({(t + 1)}^{3})}^{2}}$

Paso 3

Multiplica los exponentes en ${({(t + 1)}^{3})}^{2}$ .

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Paso 3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(t + 1)}^{3} \frac{d}{d t} [{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}] - {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{3}]}{{(t + 1)}^{3 \cdot 2}}$

Paso 3.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{{(t + 1)}^{3} \frac{d}{d t} [{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}] - {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{3}]}{{(t + 1)}^{6}}$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ y $g (t) = 2 t + 1$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $2 t + 1$ .

$\frac{{(t + 1)}^{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [2 t + 1]) - {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{3}]}{{(t + 1)}^{6}}$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{{(t + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [2 t + 1]) - {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{3}]}{{(t + 1)}^{6}}$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 t + 1$ .

$\frac{{(t + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [2 t + 1]) - {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{3}]}{{(t + 1)}^{6}}$

Paso 5

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(t + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [2 t + 1]) - {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{3}]}{{(t + 1)}^{6}}$

Paso 6

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(t + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [2 t + 1]) - {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{3}]}{{(t + 1)}^{6}}$

Paso 7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{{(t + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {(2 t + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [2 t + 1]) - {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{3}]}{{(t + 1)}^{6}}$

Paso 8

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{{(t + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {(2 t + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [2 t + 1]) - {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{3}]}{{(t + 1)}^{6}}$

Paso 8.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{{(t + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {(2 t + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [2 t + 1]) - {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{3}]}{{(t + 1)}^{6}}$

Paso 9

Combina fracciones.

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Paso 9.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{{(t + 1)}^{3} (\frac{1}{2} {(2 t + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [2 t + 1]) - {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{3}]}{{(t + 1)}^{6}}$

Paso 9.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(2 t + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(t + 1)}^{3} (\frac{{(2 t + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [2 t + 1]) - {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{3}]}{{(t + 1)}^{6}}$

Paso 9.3

Mueve ${(2 t + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{{(t + 1)}^{3} (\frac{1}{2 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [2 t + 1]) - {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{3}]}{{(t + 1)}^{6}}$

Paso 9.4

Combina $\frac{1}{2 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ y ${(t + 1)}^{3}$ .

$\frac{\frac{{(t + 1)}^{3}}{2 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [2 t + 1] - {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{3}]}{{(t + 1)}^{6}}$

Paso 10

Según la regla de la suma, la derivada de $2 t + 1$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{\frac{{(t + 1)}^{3}}{2 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1]) - {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{3}]}{{(t + 1)}^{6}}$

Paso 11

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{\frac{{(t + 1)}^{3}}{2 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]) - {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{3}]}{{(t + 1)}^{6}}$

Paso 12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\frac{{(t + 1)}^{3}}{2 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1]) - {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{3}]}{{(t + 1)}^{6}}$

Paso 13

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{\frac{{(t + 1)}^{3}}{2 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 + \frac{d}{d t} [1]) - {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{3}]}{{(t + 1)}^{6}}$

Paso 14

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{\frac{{(t + 1)}^{3}}{2 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 + 0) - {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{3}]}{{(t + 1)}^{6}}$

Paso 15

Simplifica los términos.

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Paso 15.1

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{\frac{{(t + 1)}^{3}}{2 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 2 - {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{3}]}{{(t + 1)}^{6}}$

Paso 15.2

Combina $\frac{{(t + 1)}^{3}}{2 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ y $2$ .

$\frac{\frac{{(t + 1)}^{3} \cdot 2}{2 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{3}]}{{(t + 1)}^{6}}$

Paso 15.3

Mueve $2$ a la izquierda de ${(t + 1)}^{3}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot {(t + 1)}^{3}}{2 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{3}]}{{(t + 1)}^{6}}$

Paso 15.4

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{2 {(t + 1)}^{3}}{2 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{3}]}{{(t + 1)}^{6}}$

Paso 15.5

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{{(t + 1)}^{3}}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{3}]}{{(t + 1)}^{6}}$

Paso 16

Multiplica $\frac{\frac{{(t + 1)}^{3}}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{3}]}{{(t + 1)}^{6}}$ por $\frac{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{{(t + 1)}^{3}}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{3}]}{{(t + 1)}^{6}}$

Paso 17

Combinar.

$\frac{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} (\frac{{(t + 1)}^{3}}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{3}])}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{6}}$

Paso 18

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{{(t + 1)}^{3}}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} (- {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{3}])}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{6}}$

Paso 19

Cancela el factor común de ${(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 19.1

Cancela el factor común.

Paso 19.2

Reescribe la expresión.

$\frac{{(t + 1)}^{3} + {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} (- {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{3}])}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{6}}$

Paso 20

Multiplica ${(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 20.1

Mueve ${(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(t + 1)}^{3} + {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} (- \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{3}])}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{6}}$

Paso 20.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{(t + 1)}^{3} + {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} (- \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{3}])}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{6}}$

Paso 20.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{{(t + 1)}^{3} + {(2 t + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} (- \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{3}])}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{6}}$

Paso 20.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{{(t + 1)}^{3} + {(2 t + 1)}^{\frac{2}{2}} (- \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{3}])}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{6}}$

Paso 20.5

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{{(t + 1)}^{3} + {(2 t + 1)}^{1} (- \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{3}])}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{6}}$

Paso 21

Simplifica ${(2 t + 1)}^{1} (- \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{3}])$ .

$\frac{{(t + 1)}^{3} + (2 t + 1) (- \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{3}])}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{6}}$

Paso 22

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{3}$ y $g (t) = t + 1$ .

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Paso 22.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $t + 1$ .

$\frac{{(t + 1)}^{3} + (2 t + 1) (- (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d t} [t + 1]))}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{6}}$

Paso 22.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{{(t + 1)}^{3} + (2 t + 1) (- (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d t} [t + 1]))}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{6}}$

Paso 22.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $t + 1$ .

$\frac{{(t + 1)}^{3} + (2 t + 1) (- (3 {(t + 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t + 1]))}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{6}}$

Paso 23

Diferencia.

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Paso 23.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{{(t + 1)}^{3} + (2 t + 1) (- 3 ({(t + 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t + 1]))}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{6}}$

Paso 23.2

Según la regla de la suma, la derivada de $t + 1$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{{(t + 1)}^{3} + (2 t + 1) (- 3 {(t + 1)}^{2} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]))}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{6}}$

Paso 23.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{{(t + 1)}^{3} + (2 t + 1) (- 3 {(t + 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d t} [1]))}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{6}}$

Paso 23.4

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{{(t + 1)}^{3} + (2 t + 1) (- 3 {(t + 1)}^{2} (1 + 0))}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{6}}$

Paso 23.5

Simplifica la expresión.

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Paso 23.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{{(t + 1)}^{3} + (2 t + 1) (- 3 {(t + 1)}^{2} \cdot 1)}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{6}}$

Paso 23.5.2

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$\frac{{(t + 1)}^{3} + (2 t + 1) (- 3 {(t + 1)}^{2})}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{6}}$

Paso 24

Simplifica.

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Paso 24.1

Simplifica el numerador.

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Paso 24.1.1

Factoriza ${(t + 1)}^{2}$ de ${(t + 1)}^{3} + (2 t + 1) (- 3 {(t + 1)}^{2})$ .

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Paso 24.1.1.1

Factoriza ${(t + 1)}^{2}$ de ${(t + 1)}^{3}$ .

$\frac{{(t + 1)}^{2} (t + 1) + (2 t + 1) (- 3 {(t + 1)}^{2})}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{6}}$

Paso 24.1.1.2

Factoriza ${(t + 1)}^{2}$ de $(2 t + 1) (- 3 {(t + 1)}^{2})$ .

$\frac{{(t + 1)}^{2} (t + 1) + {(t + 1)}^{2} ((2 t + 1) \cdot (- 3))}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{6}}$

Paso 24.1.1.3

Factoriza ${(t + 1)}^{2}$ de ${(t + 1)}^{2} (t + 1) + {(t + 1)}^{2} ((2 t + 1) \cdot (- 3))$ .

$\frac{{(t + 1)}^{2} (t + 1 + (2 t + 1) \cdot (- 3))}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{6}}$

Paso 24.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{{(t + 1)}^{2} (t + 1 + 2 t \cdot - 3 + 1 \cdot - 3)}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{6}}$

Paso 24.1.3

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$\frac{{(t + 1)}^{2} (t + 1 - 6 t + 1 \cdot - 3)}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{6}}$

Paso 24.1.4

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$\frac{{(t + 1)}^{2} (t + 1 - 6 t - 3)}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{6}}$

Paso 24.1.5

Resta $6 t$ de $t$ .

$\frac{{(t + 1)}^{2} (- 5 t + 1 - 3)}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{6}}$

Paso 24.1.6

Resta $3$ de $1$ .

$\frac{{(t + 1)}^{2} (- 5 t - 2)}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{6}}$

Paso 24.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 24.2.1

Factoriza ${(t + 1)}^{2}$ de ${(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{6}$ .

$\frac{{(t + 1)}^{2} (- 5 t - 2)}{{(t + 1)}^{2} ({(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{4})}$

Paso 24.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{{(t + 1)}^{2} (- 5 t - 2)}{{(t + 1)}^{2} ({(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{4})}$

Paso 24.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 5 t - 2}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{4}}$

Paso 24.3

Factoriza $- 1$ de $- 5 t$ .

$\frac{- (5 t) - 2}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{4}}$

Paso 24.4

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$\frac{- (5 t) - 1 (2)}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{4}}$

Paso 24.5

Factoriza $- 1$ de $- (5 t) - 1 (2)$ .

$\frac{- (5 t + 2)}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{4}}$

Paso 24.6

Reescribe $- (5 t + 2)$ como $- 1 (5 t + 2)$ .

$\frac{- 1 (5 t + 2)}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{4}}$

Paso 24.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{5 t + 2}{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{4}}$