Cálculo Ejemplos

$f (x) = (\sqrt{x}) (\sqrt[3]{x})$

Paso 1

Reescribe la expresión con el índice menos común de $6$ .

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{x}]$

Paso 1.2

Reescribe $x^{\frac{1}{2}}$ como $x^{\frac{3}{6}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{6}} \sqrt[3]{x}]$

Paso 1.3

Reescribe $x^{\frac{3}{6}}$ como $\sqrt[6]{x^{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[6]{x^{3}} \sqrt[3]{x}]$

Paso 1.4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[6]{x^{3}} x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 1.5

Reescribe $x^{\frac{1}{3}}$ como $x^{\frac{2}{6}}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[6]{x^{3}} x^{\frac{2}{6}}]$

Paso 1.6

Reescribe $x^{\frac{2}{6}}$ como $\sqrt[6]{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[6]{x^{3}} \sqrt[6]{x^{2}}]$

Paso 2

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{d}{d x} [\sqrt[6]{x^{3} x^{2}}]$

Paso 3

Multiplica $x^{3}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d}{d x} [\sqrt[6]{x^{3 + 2}}]$

Paso 3.2

Suma $3$ y $2$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[6]{x^{5}}]$

Paso 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[6]{x^{5}}$ como $x^{\frac{5}{6}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{6}}]$

Paso 5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{5}{6}$ .

$\frac{5}{6} x^{\frac{5}{6} - 1}$

Paso 6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{5}{6} x^{\frac{5}{6} - 1 \cdot \frac{6}{6}}$

Paso 7

Combina $- 1$ y $\frac{6}{6}$ .

$\frac{5}{6} x^{\frac{5}{6} + \frac{- 1 \cdot 6}{6}}$

Paso 8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{5}{6} x^{\frac{5 - 1 \cdot 6}{6}}$

Paso 9

Simplifica el numerador.

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Paso 9.1

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$\frac{5}{6} x^{\frac{5 - 6}{6}}$

Paso 9.2

Resta $6$ de $5$ .

$\frac{5}{6} x^{\frac{- 1}{6}}$

Paso 10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{5}{6} x^{- \frac{1}{6}}$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5}{6} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{6}}}$

Paso 11.2

Multiplica $\frac{5}{6}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{6}}}$ .

$\frac{5}{6 x^{\frac{1}{6}}}$