Cálculo Ejemplos

$f (x) = (x^{2} - 7) (x - 4)$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2} - 7$ y $g (x) = x - 4$ .

$(x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x - 4] + (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 7]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$(x^{2} - 7) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 7]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(x^{2} - 7) (1 + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 7]$

Paso 2.3

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(x^{2} - 7) (1 + 0) + (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 7]$

Paso 2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$(x^{2} - 7) \cdot 1 + (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 7]$

Paso 2.4.2

Multiplica $x^{2} - 7$ por $1$ .

$x^{2} - 7 + (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 7]$

Paso 2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$x^{2} - 7 + (x - 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} - 7 + (x - 4) (2 x + \frac{d}{d x} [- 7])$

Paso 2.7

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x^{2} - 7 + (x - 4) (2 x + 0)$

Paso 2.8

Simplifica la expresión.

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Paso 2.8.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$x^{2} - 7 + (x - 4) (2 x)$

Paso 2.8.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x - 4$ .

$x^{2} - 7 + 2 \cdot (x - 4) x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} - 7 + (2 x + 2 \cdot - 4) x$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} - 7 + 2 x \cdot x + 2 \cdot - 4 x$

Paso 3.3

Combina los términos.

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Paso 3.3.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{2} - 7 + 2 (x^{1} x) + 2 \cdot - 4 x$

Paso 3.3.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{2} - 7 + 2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot - 4 x$

Paso 3.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{2} - 7 + 2 x^{1 + 1} + 2 \cdot - 4 x$

Paso 3.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$x^{2} - 7 + 2 x^{2} + 2 \cdot - 4 x$

Paso 3.3.5

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$x^{2} - 7 + 2 x^{2} - 8 x$

Paso 3.3.6

Suma $x^{2}$ y $2 x^{2}$ .

$3 x^{2} - 7 - 8 x$

Paso 3.4

Reordena los términos.

$3 x^{2} - 8 x - 7$