Cálculo Ejemplos

$f (x) = (x^{3} + 2 x) e^{x}$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{3} + 2 x$ y $g (x) = e^{x}$ .

$(x^{3} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3} + 2 x]$

Paso 2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$(x^{3} + 2 x) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3} + 2 x]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$(x^{3} + 2 x) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$(x^{3} + 2 x) e^{x} + e^{x} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 3.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{3} + 2 x) e^{x} + e^{x} (3 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(x^{3} + 2 x) e^{x} + e^{x} (3 x^{2} + 2 \cdot 1)$

Paso 3.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$(x^{3} + 2 x) e^{x} + e^{x} (3 x^{2} + 2)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{3} e^{x} + 2 x e^{x} + e^{x} (3 x^{2} + 2)$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{3} e^{x} + 2 x e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + e^{x} \cdot 2$

Paso 4.3

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{x}$ .

$x^{3} e^{x} + 2 x e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + 2 e^{x}$

Paso 4.4

Reordena los términos.

$e^{x} x^{3} + 2 e^{x} x + 3 e^{x} x^{2} + 2 e^{x}$