Cálculo Ejemplos

$f (x) = (4 e^{x} + \cos (x)) (e^{3 x} - \sin (x))$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = 4 e^{x} + \cos (x)$ y $g (x) = e^{3 x} - \sin (x)$ .

$(4 e^{x} + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{3 x} - \sin (x)] + (e^{3 x} - \sin (x)) \frac{d}{d x} [4 e^{x} + \cos (x)]$

Paso 2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{3 x} - \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$(4 e^{x} + \cos (x)) (\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) + (e^{3 x} - \sin (x)) \frac{d}{d x} [4 e^{x} + \cos (x)]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x$ .

$(4 e^{x} + \cos (x)) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) + (e^{3 x} - \sin (x)) \frac{d}{d x} [4 e^{x} + \cos (x)]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$(4 e^{x} + \cos (x)) (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) + (e^{3 x} - \sin (x)) \frac{d}{d x} [4 e^{x} + \cos (x)]$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x$ .

$(4 e^{x} + \cos (x)) (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) + (e^{3 x} - \sin (x)) \frac{d}{d x} [4 e^{x} + \cos (x)]$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(4 e^{x} + \cos (x)) (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) + (e^{3 x} - \sin (x)) \frac{d}{d x} [4 e^{x} + \cos (x)]$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(4 e^{x} + \cos (x)) (e^{3 x} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) + (e^{3 x} - \sin (x)) \frac{d}{d x} [4 e^{x} + \cos (x)]$

Paso 4.3

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$(4 e^{x} + \cos (x)) (e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) + (e^{3 x} - \sin (x)) \frac{d}{d x} [4 e^{x} + \cos (x)]$

Paso 4.3.2

Mueve $3$ a la izquierda de $e^{3 x}$ .

$(4 e^{x} + \cos (x)) (3 \cdot e^{3 x} + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) + (e^{3 x} - \sin (x)) \frac{d}{d x} [4 e^{x} + \cos (x)]$

Paso 4.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \sin (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$(4 e^{x} + \cos (x)) (3 e^{3 x} - \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + (e^{3 x} - \sin (x)) \frac{d}{d x} [4 e^{x} + \cos (x)]$

Paso 5

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$(4 e^{x} + \cos (x)) (3 e^{3 x} - \cos (x)) + (e^{3 x} - \sin (x)) \frac{d}{d x} [4 e^{x} + \cos (x)]$

Paso 6

Diferencia.

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Paso 6.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 e^{x} + \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 e^{x}] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$(4 e^{x} + \cos (x)) (3 e^{3 x} - \cos (x)) + (e^{3 x} - \sin (x)) (\frac{d}{d x} [4 e^{x}] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 6.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 e^{x}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$(4 e^{x} + \cos (x)) (3 e^{3 x} - \cos (x)) + (e^{3 x} - \sin (x)) (4 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 7

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$(4 e^{x} + \cos (x)) (3 e^{3 x} - \cos (x)) + (e^{3 x} - \sin (x)) (4 e^{x} + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 8

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$(4 e^{x} + \cos (x)) (3 e^{3 x} - \cos (x)) + (e^{3 x} - \sin (x)) (4 e^{x} - \sin (x))$

Paso 9

Reordena los términos.

$(3 e^{3 x} - \cos (x)) (4 e^{x} + \cos (x)) + (4 e^{x} - \sin (x)) (e^{3 x} - \sin (x))$