Cálculo Ejemplos

$f (x) = {(x^{2} + 6 x - 7)}^{2}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x^{2} + 6 x - 7$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 6 x - 7$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x - 7]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x - 7]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 6 x - 7$ .

$2 (x^{2} + 6 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x - 7]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 6 x - 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$2 (x^{2} + 6 x - 7) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 (x^{2} + 6 x - 7) (2 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Paso 2.3

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x^{2} + 6 x - 7) (2 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 (x^{2} + 6 x - 7) (2 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7])$

Paso 2.5

Multiplica $6$ por $1$ .

$2 (x^{2} + 6 x - 7) (2 x + 6 + \frac{d}{d x} [- 7])$

Paso 2.6

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 (x^{2} + 6 x - 7) (2 x + 6 + 0)$

Paso 2.7

Suma $2 x + 6$ y $0$ .

$2 (x^{2} + 6 x - 7) (2 x + 6)$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 x^{2} + 2 (6 x) + 2 \cdot - 7) (2 x + 6)$

Paso 3.2

Combina los términos.

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Paso 3.2.1

Multiplica $6$ por $2$ .

$(2 x^{2} + 12 x + 2 \cdot - 7) (2 x + 6)$

Paso 3.2.2

Multiplica $2$ por $- 7$ .

$(2 x^{2} + 12 x - 14) (2 x + 6)$

Paso 3.3

Reordena los factores de $(2 x^{2} + 12 x - 14) (2 x + 6)$ .

$(2 x + 6) (2 x^{2} + 12 x - 14)$

Paso 3.4

Expande $(2 x + 6) (2 x^{2} + 12 x - 14)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (12 x) + 2 x \cdot - 14 + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

Paso 3.5

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 \cdot 2 x \cdot x^{2} + 2 x (12 x) + 2 x \cdot - 14 + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

Paso 3.5.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.5.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$2 \cdot 2 (x^{2} x) + 2 x (12 x) + 2 x \cdot - 14 + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

Paso 3.5.2.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 3.5.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 \cdot 2 (x^{2} x^{1}) + 2 x (12 x) + 2 x \cdot - 14 + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

Paso 3.5.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 \cdot 2 x^{2 + 1} + 2 x (12 x) + 2 x \cdot - 14 + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

Paso 3.5.2.3

Suma $2$ y $1$ .

$2 \cdot 2 x^{3} + 2 x (12 x) + 2 x \cdot - 14 + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

Paso 3.5.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 x^{3} + 2 x (12 x) + 2 x \cdot - 14 + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

Paso 3.5.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$4 x^{3} + 2 \cdot 12 x \cdot x + 2 x \cdot - 14 + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

Paso 3.5.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.5.5.1

Mueve $x$ .

$4 x^{3} + 2 \cdot 12 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 14 + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

Paso 3.5.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$4 x^{3} + 2 \cdot 12 x^{2} + 2 x \cdot - 14 + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

Paso 3.5.6

Multiplica $2$ por $12$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 2 x \cdot - 14 + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

Paso 3.5.7

Multiplica $- 14$ por $2$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} - 28 x + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

Paso 3.5.8

Multiplica $2$ por $6$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} - 28 x + 12 x^{2} + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

Paso 3.5.9

Multiplica $12$ por $6$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} - 28 x + 12 x^{2} + 72 x + 6 \cdot - 14$

Paso 3.5.10

Multiplica $6$ por $- 14$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} - 28 x + 12 x^{2} + 72 x - 84$

Paso 3.6

Suma $24 x^{2}$ y $12 x^{2}$ .

$4 x^{3} + 36 x^{2} - 28 x + 72 x - 84$

Paso 3.7

Suma $- 28 x$ y $72 x$ .

$4 x^{3} + 36 x^{2} + 44 x - 84$