Cálculo Ejemplos

$f (x) = {(2 x - 1)}^{4} {(3 x - 2)}^{6}$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = {(2 x - 1)}^{4}$ y $g (x) = {(3 x - 2)}^{6}$ .

${(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{6}] + {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{4}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{6}$ y $g (x) = 3 x - 2$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $3 x - 2$ .

${(2 x - 1)}^{4} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{6}] \frac{d}{d x} [3 x - 2]) + {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{4}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

${(2 x - 1)}^{4} (6 {u_{1}}^{5} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) + {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{4}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $3 x - 2$ .

${(2 x - 1)}^{4} (6 {(3 x - 2)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) + {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{4}]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Mueve $6$ a la izquierda de ${(2 x - 1)}^{4}$ .

$6 \cdot {(2 x - 1)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x - 2] + {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{4}]$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$6 {(2 x - 1)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{4}]$

Paso 3.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 {(2 x - 1)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{4}]$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 {(2 x - 1)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{4}]$

Paso 3.5

Multiplica $3$ por $1$ .

$6 {(2 x - 1)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} (3 + \frac{d}{d x} [- 2]) + {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{4}]$

Paso 3.6

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$6 {(2 x - 1)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} (3 + 0) + {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{4}]$

Paso 3.7

Simplifica la expresión.

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Paso 3.7.1

Suma $3$ y $0$ .

$6 {(2 x - 1)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} \cdot 3 + {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{4}]$

Paso 3.7.2

Multiplica $3$ por $6$ .

$18 {(2 x - 1)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} + {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{4}]$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = 2 x - 1$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $2 x - 1$ .

$18 {(2 x - 1)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} + {(3 x - 2)}^{6} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$18 {(2 x - 1)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} + {(3 x - 2)}^{6} (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 x - 1$ .

$18 {(2 x - 1)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} + {(3 x - 2)}^{6} (4 {(2 x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Mueve $4$ a la izquierda de ${(3 x - 2)}^{6}$ .

$18 {(2 x - 1)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} + 4 \cdot {(3 x - 2)}^{6} {(2 x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Paso 5.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$18 {(2 x - 1)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} + 4 {(3 x - 2)}^{6} {(2 x - 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 5.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$18 {(2 x - 1)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} + 4 {(3 x - 2)}^{6} {(2 x - 1)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 5.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$18 {(2 x - 1)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} + 4 {(3 x - 2)}^{6} {(2 x - 1)}^{3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 5.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$18 {(2 x - 1)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} + 4 {(3 x - 2)}^{6} {(2 x - 1)}^{3} (2 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 5.6

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$18 {(2 x - 1)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} + 4 {(3 x - 2)}^{6} {(2 x - 1)}^{3} (2 + 0)$

Paso 5.7

Simplifica la expresión.

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Paso 5.7.1

Suma $2$ y $0$ .

$18 {(2 x - 1)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} + 4 {(3 x - 2)}^{6} {(2 x - 1)}^{3} \cdot 2$

Paso 5.7.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$18 {(2 x - 1)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} + 8 {(3 x - 2)}^{6} {(2 x - 1)}^{3}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Factoriza $2 {(2 x - 1)}^{3} {(3 x - 2)}^{5}$ de $18 {(2 x - 1)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} + 8 {(3 x - 2)}^{6} {(2 x - 1)}^{3}$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza $2 {(2 x - 1)}^{3} {(3 x - 2)}^{5}$ de $18 {(2 x - 1)}^{4} {(3 x - 2)}^{5}$ .

$2 {(2 x - 1)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (9 (2 x - 1)) + 8 {(3 x - 2)}^{6} {(2 x - 1)}^{3}$

Paso 6.1.2

Factoriza $2 {(2 x - 1)}^{3} {(3 x - 2)}^{5}$ de $8 {(3 x - 2)}^{6} {(2 x - 1)}^{3}$ .

$2 {(2 x - 1)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (9 (2 x - 1)) + 2 {(2 x - 1)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (4 (3 x - 2))$

Paso 6.1.3

Factoriza $2 {(2 x - 1)}^{3} {(3 x - 2)}^{5}$ de $2 {(2 x - 1)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (9 (2 x - 1)) + 2 {(2 x - 1)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (4 (3 x - 2))$ .

$2 {(2 x - 1)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (9 (2 x - 1) + 4 (3 x - 2))$

Paso 6.2

Reordena los factores de $2 {(2 x - 1)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (9 (2 x - 1) + 4 (3 x - 2))$ .

$2 {(3 x - 2)}^{5} {(2 x - 1)}^{3} (9 (2 x - 1) + 4 (3 x - 2))$