Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{\csc^{5} (x)}$

Paso 1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.1

Reescribe $\frac{1}{\csc^{5} (x)}$ como ${(\csc^{5} (x))}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\csc^{5} (x))}^{- 1}]$

Paso 1.2

Multiplica los exponentes en ${(\csc^{5} (x))}^{- 1}$ .

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Paso 1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{\csc (x)}^{5 \cdot - 1}]$

Paso 1.2.2

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [\csc^{- 5} (x)]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 5}$ y $g (x) = \csc (x)$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\csc (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 5}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 5$ .

$- 5 u^{- 6} \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\csc (x)$ .

$- 5 \csc^{- 6} (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Paso 3

La derivada de $\csc (x)$ con respecto a $x$ es $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- 5 \csc^{- 6} (x) (- \csc (x) \cot (x))$

Paso 4

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$5 \csc^{- 6} (x) (\csc (x) \cot (x))$

Paso 5

Eleva $\csc (x)$ a la potencia de $1$ .

$5 (\csc^{1} (x) \csc^{- 6} (x)) \cot (x)$

Paso 6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$5 {\csc (x)}^{1 - 6} \cot (x)$

Paso 7

Resta $6$ de $1$ .

$5 \csc^{- 5} (x) \cot (x)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 \frac{1}{\csc^{5} (x)} \cot (x)$

Paso 8.2

Combina los términos.

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Paso 8.2.1

Combina $5$ y $\frac{1}{\csc^{5} (x)}$ .

$\frac{5}{\csc^{5} (x)} \cot (x)$

Paso 8.2.2

Combina $\frac{5}{\csc^{5} (x)}$ y $\cot (x)$ .

$\frac{5 \cot (x)}{\csc^{5} (x)}$

Paso 8.3

Factoriza $\csc (x)$ de $\csc^{5} (x)$ .

$\frac{5 \cot (x)}{\csc (x) \csc^{4} (x)}$

Paso 8.4

Separa las fracciones.

$\frac{5}{\csc^{4} (x)} \cdot \frac{\cot (x)}{\csc (x)}$

Paso 8.5

Reescribe $\csc (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{5}{\csc^{4} (x)} \cdot \frac{\cot (x)}{\frac{1}{\sin (x)}}$

Paso 8.6

Reescribe $\cot (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{5}{\csc^{4} (x)} \cdot \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{\sin (x)}}$

Paso 8.7

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{5}{\csc^{4} (x)} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sin (x))$

Paso 8.8

Escribe $\sin (x)$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{5}{\csc^{4} (x)} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{1})$

Paso 8.9

Cancela el factor común de $\sin (x)$ .

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Paso 8.9.1

Cancela el factor común.

$\frac{5}{\csc^{4} (x)} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{1})$

Paso 8.9.2

Reescribe la expresión.

$\frac{5}{\csc^{4} (x)} \cos (x)$

Paso 8.10

Combina $\frac{5}{\csc^{4} (x)}$ y $\cos (x)$ .

$\frac{5 \cos (x)}{\csc^{4} (x)}$

Paso 8.11

Factoriza $\csc (x)$ de $\csc^{4} (x)$ .

$\frac{5 \cos (x)}{\csc (x) \csc^{3} (x)}$

Paso 8.12

Separa las fracciones.

$\frac{5}{\csc^{3} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\csc (x)}$

Paso 8.13

Reescribe $\csc (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{5}{\csc^{3} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\sin (x)}}$

Paso 8.14

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{5}{\csc^{3} (x)} (\cos (x) \sin (x))$

Paso 8.15

Multiplica $\frac{5}{\csc^{3} (x)} (\cos (x) \sin (x))$ .

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Paso 8.15.1

Combina $\cos (x)$ y $\frac{5}{\csc^{3} (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cdot 5}{\csc^{3} (x)} \sin (x)$

Paso 8.15.2

Combina $\frac{\cos (x) \cdot 5}{\csc^{3} (x)}$ y $\sin (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cdot 5 \sin (x)}{\csc^{3} (x)}$

Paso 8.16

Factoriza $\csc (x)$ de $\csc^{3} (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cdot 5 \sin (x)}{\csc (x) \csc^{2} (x)}$

Paso 8.17

Separa las fracciones.

$\frac{5 \sin (x)}{\csc^{2} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\csc (x)}$

Paso 8.18

Reescribe $\csc (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{5 \sin (x)}{\csc^{2} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\sin (x)}}$

Paso 8.19

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{5 \sin (x)}{\csc^{2} (x)} (\cos (x) \sin (x))$

Paso 8.20

Factoriza $\csc (x)$ de $\csc^{2} (x)$ .

$\frac{5 \sin (x)}{\csc (x) \csc (x)} (\cos (x) \sin (x))$

Paso 8.21

Separa las fracciones.

$\frac{5}{\csc (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\csc (x)} (\cos (x) \sin (x))$

Paso 8.22

Reescribe $\csc (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{5}{\csc (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\frac{1}{\sin (x)}} (\cos (x) \sin (x))$

Paso 8.23

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{5}{\csc (x)} (\sin (x) \sin (x)) (\cos (x) \sin (x))$

Paso 8.24

Simplifica.

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Paso 8.24.1

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{5}{\csc (x)} (\sin^{1} (x) \sin (x)) (\cos (x) \sin (x))$

Paso 8.24.2

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{5}{\csc (x)} (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) (\cos (x) \sin (x))$

Paso 8.24.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{5}{\csc (x)} {\sin (x)}^{1 + 1} (\cos (x) \sin (x))$

Paso 8.24.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{5}{\csc (x)} \sin^{2} (x) (\cos (x) \sin (x))$

Paso 8.25

Multiplica $\sin^{2} (x)$ por $\sin (x)$ sumando los exponentes.

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Paso 8.25.1

Mueve $\sin (x)$ .

$\frac{5}{\csc (x)} (\sin (x) \sin^{2} (x)) \cos (x)$

Paso 8.25.2

Multiplica $\sin (x)$ por $\sin^{2} (x)$ .

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Paso 8.25.2.1

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{5}{\csc (x)} (\sin^{1} (x) \sin^{2} (x)) \cos (x)$

Paso 8.25.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{5}{\csc (x)} {\sin (x)}^{1 + 2} \cos (x)$

Paso 8.25.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{5}{\csc (x)} \sin^{3} (x) \cos (x)$

Paso 8.26

Separa las fracciones.

$\frac{5}{1} \cdot \frac{1}{\csc (x)} \sin^{3} (x) \cos (x)$

Paso 8.27

Reescribe $\csc (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{5}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\sin (x)}} \sin^{3} (x) \cos (x)$

Paso 8.28

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{5}{1} (1 \sin (x)) \sin^{3} (x) \cos (x)$

Paso 8.29

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$\frac{5}{1} \sin (x) \sin^{3} (x) \cos (x)$

Paso 8.30

Multiplica $\sin (x)$ por $\sin^{3} (x)$ sumando los exponentes.

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Paso 8.30.1

Mueve $\sin^{3} (x)$ .

$\frac{5}{1} (\sin^{3} (x) \sin (x)) \cos (x)$

Paso 8.30.2

Multiplica $\sin^{3} (x)$ por $\sin (x)$ .

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Paso 8.30.2.1

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{5}{1} (\sin^{3} (x) \sin^{1} (x)) \cos (x)$

Paso 8.30.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{5}{1} {\sin (x)}^{3 + 1} \cos (x)$

Paso 8.30.3

Suma $3$ y $1$ .

$\frac{5}{1} \sin^{4} (x) \cos (x)$

Paso 8.31

Divide $5$ por $1$ .

$5 \sin^{4} (x) \cos (x)$