Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{3} - 1}{x^{3} + 1}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{3} - 1$ y $g (x) = x^{3} + 1$ .

$\frac{(x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} - 1] - (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (3 x^{2} + 0) - (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.4.1

Suma $3 x^{2}$ y $0$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (3 x^{2}) - (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 2.4.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{3} + 1$ .

$\frac{3 \cdot (x^{3} + 1) x^{2} - (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{3 (x^{3} + 1) x^{2} - (x^{3} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{3 (x^{3} + 1) x^{2} - (x^{3} - 1) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 2.7

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{3 (x^{3} + 1) x^{2} - (x^{3} - 1) (3 x^{2} + 0)}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 2.8

Simplifica la expresión.

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Paso 2.8.1

Suma $3 x^{2}$ y $0$ .

$\frac{3 (x^{3} + 1) x^{2} - (x^{3} - 1) (3 x^{2})}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 2.8.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{3 (x^{3} + 1) x^{2} - 3 (x^{3} - 1) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(3 x^{3} + 3 \cdot 1) x^{2} - 3 (x^{3} - 1) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x^{3} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} - 3 (x^{3} - 1) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x^{3} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} + (- 3 x^{3} - 3 \cdot - 1) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x^{3} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} - 3 x^{3} x^{2} - 3 \cdot - 1 x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.1

Combina los términos opuestos en $3 x^{3} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} - 3 x^{3} x^{2} - 3 \cdot - 1 x^{2}$ .

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Paso 3.5.1.1

Resta $3 x^{3} x^{2}$ de $3 x^{3} x^{2}$ .

$\frac{3 \cdot 1 x^{2} + 0 - 3 \cdot - 1 x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 3.5.1.2

Suma $3 \cdot 1 x^{2}$ y $0$ .

$\frac{3 \cdot 1 x^{2} - 3 \cdot - 1 x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 3.5.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.2.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 3 \cdot - 1 x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 3.5.2.2

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 3.5.3

Suma $3 x^{2}$ y $3 x^{2}$ .

$\frac{6 x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Paso 3.6

Simplifica el denominador.

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Paso 3.6.1

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{6 x^{2}}{{(x^{3} + 1^{3})}^{2}}$

Paso 3.6.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{6 x^{2}}{{((x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2}))}^{2}}$

Paso 3.6.3

Simplifica.

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Paso 3.6.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{6 x^{2}}{{((x + 1) (x^{2} - x + 1^{2}))}^{2}}$

Paso 3.6.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{6 x^{2}}{{((x + 1) (x^{2} - x + 1))}^{2}}$

Paso 3.6.4

Aplica la regla del producto a $(x + 1) (x^{2} - x + 1)$ .

$\frac{6 x^{2}}{{(x + 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2}}$