Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{2} + 11}{\sqrt{x}}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 11}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2} + 11$ y $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 11] - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 11] - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 11] - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 11] - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{1}}$

Paso 4

Simplifica.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 11] - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 5

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 11$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]) - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [11]) - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 7

Como $11$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $11$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x + 0) - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 8

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x) - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 9

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 9.1

Mueve $x$ .

$\frac{x \cdot x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 9.2

Multiplica $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 9.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{1} x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 9.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{1 + \frac{1}{2}} \cdot 2 - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 9.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2 - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 9.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{\frac{2 + 1}{2}} \cdot 2 - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 9.5

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 10

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot x^{\frac{3}{2}} - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - (x^{2} + 11) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{x}$

Paso 12

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - (x^{2} + 11) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{x}$

Paso 13

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - (x^{2} + 11) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

Paso 14

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - (x^{2} + 11) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

Paso 15

Simplifica el numerador.

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Paso 15.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - (x^{2} + 11) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{x}$

Paso 15.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - (x^{2} + 11) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{x}$

Paso 16

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - (x^{2} + 11) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{x}$

Paso 17

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - (x^{2} + 11) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{x}$

Paso 18

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - (x^{2} + 11) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 19

Simplifica.

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Paso 19.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + (- x^{2} - 1 \cdot 11) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 19.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 11 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 19.3

Simplifica el numerador.

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Paso 19.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 19.3.1.1

Cancela el factor común de $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 19.3.1.1.1

Factoriza $x^{\frac{1}{2}}$ de $- x^{2}$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{3}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 11 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 19.3.1.1.2

Factoriza $x^{\frac{1}{2}}$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{3}{2}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2} - 1 \cdot 11 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 19.3.1.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{3}{2}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2} - 1 \cdot 11 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 19.3.1.1.4

Reescribe la expresión.

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} - 1 \cdot 11 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 19.3.1.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - 1 \cdot 11 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 19.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $11$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - 11 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 19.3.1.4

Combina $- 11$ y $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{- 11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 19.3.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 19.3.2

Para escribir $2 x^{\frac{3}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 19.3.3

Combina $2 x^{\frac{3}{2}}$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 19.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 - x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 19.3.5

Simplifica cada término.

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Paso 19.3.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 19.3.5.1.1

Factoriza $x^{\frac{3}{2}}$ de $2 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 - x^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 19.3.5.1.1.1

Mueve $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 19.3.5.1.1.2

Factoriza $x^{\frac{3}{2}}$ de $2 \cdot 2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{3}{2}} (2 \cdot 2) - x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 19.3.5.1.1.3

Factoriza $x^{\frac{3}{2}}$ de $- x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{3}{2}} (2 \cdot 2) + x^{\frac{3}{2}} \cdot - 1}{2} - \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 19.3.5.1.1.4

Factoriza $x^{\frac{3}{2}}$ de $x^{\frac{3}{2}} (2 \cdot 2) + x^{\frac{3}{2}} \cdot - 1$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{3}{2}} (2 \cdot 2 - 1)}{2} - \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 19.3.5.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{3}{2}} (4 - 1)}{2} - \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 19.3.5.1.3

Resta $1$ de $4$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 3}{2} - \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 19.3.5.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{\frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 19.4

Combina los términos.

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Paso 19.4.1

Multiplica $\frac{\frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Paso 19.4.2

Combinar.

$\frac{2 (\frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Paso 19.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 2 (- \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Paso 19.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 19.4.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 2 (- \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Paso 19.4.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} + 2 (- \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Paso 19.4.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} - 2 \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Paso 19.4.6

Combina $- 2$ y $\frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 2 \cdot 11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Paso 19.4.7

Multiplica $- 2$ por $11$ .

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 22}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Paso 19.4.8

Factoriza $2$ de $- 22$ .

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{2 \cdot - 11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Paso 19.4.9

Cancela los factores comunes.

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Paso 19.4.9.1

Factoriza $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{2 \cdot - 11}{2 (x^{\frac{1}{2}})}}{2 x}$

Paso 19.4.9.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{2 \cdot - 11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Paso 19.4.9.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 11}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Paso 19.4.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} - \frac{11}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Paso 19.5

Simplifica el numerador.

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Paso 19.5.1

Para escribir $3 x^{\frac{3}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{3 x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{11}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Paso 19.5.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{3 x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}} - 11}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Paso 19.5.3

Multiplica $x^{\frac{3}{2}}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 19.5.3.1

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{3 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}) - 11}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Paso 19.5.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}} - 11}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Paso 19.5.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{3 x^{\frac{1 + 3}{2}} - 11}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Paso 19.5.3.4

Suma $1$ y $3$ .

$\frac{\frac{3 x^{\frac{4}{2}} - 11}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Paso 19.5.3.5

Divide $4$ por $2$ .

$\frac{\frac{3 x^{2} - 11}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Paso 19.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{3 x^{2} - 11}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x}$

Paso 19.7

Multiplica $\frac{3 x^{2} - 11}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x}$ .

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Paso 19.7.1

Multiplica $\frac{3 x^{2} - 11}{x^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{2 x}$ .

$\frac{3 x^{2} - 11}{x^{\frac{1}{2}} (2 x)}$

Paso 19.7.2

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 19.7.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{3 x^{2} - 11}{x \cdot x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Paso 19.7.2.2

Multiplica $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 19.7.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 11}{x^{1} x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Paso 19.7.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 x^{2} - 11}{x^{1 + \frac{1}{2}} \cdot 2}$

Paso 19.7.2.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{3 x^{2} - 11}{x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}$

Paso 19.7.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 x^{2} - 11}{x^{\frac{2 + 1}{2}} \cdot 2}$

Paso 19.7.2.5

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 11}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Paso 19.8

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{3 x^{2} - 11}{2 x^{\frac{3}{2}}}$