Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{e^{x}}{9 x^{2} + 1}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 9 x^{2} + 1$ .

$\frac{(9 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]}{{(9 x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{(9 x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]}{{(9 x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $9 x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(9 x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(9 x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 3.2

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x^{2}$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(9 x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(9 x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(9 x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [1])}{{(9 x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 3.4

Multiplica $2$ por $9$ .

$\frac{(9 x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} (18 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(9 x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 3.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(9 x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} (18 x + 0)}{{(9 x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 3.6.1

Suma $18 x$ y $0$ .

$\frac{(9 x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} (18 x)}{{(9 x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 3.6.2

Multiplica $18$ por $- 1$ .

$\frac{(9 x^{2} + 1) e^{x} - 18 e^{x} x}{{(9 x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{9 x^{2} e^{x} + 1 e^{x} - 18 e^{x} x}{{(9 x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.1

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$\frac{9 x^{2} e^{x} + e^{x} - 18 e^{x} x}{{(9 x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.2.2

Reordena los factores en $9 x^{2} e^{x} + e^{x} - 18 e^{x} x$ .

$\frac{9 x^{2} e^{x} + e^{x} - 18 x e^{x}}{{(9 x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.3

Reordena los términos.

$\frac{9 e^{x} x^{2} - 18 e^{x} x + e^{x}}{{(9 x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.4

Factoriza $e^{x}$ de $9 e^{x} x^{2} - 18 e^{x} x + e^{x}$ .

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Paso 4.4.1

Factoriza $e^{x}$ de $9 e^{x} x^{2}$ .

$\frac{e^{x} (9 x^{2}) - 18 e^{x} x + e^{x}}{{(9 x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.4.2

Factoriza $e^{x}$ de $- 18 e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} (9 x^{2}) + e^{x} (- 18 x) + e^{x}}{{(9 x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.4.3

Multiplica por $1$ .

$\frac{e^{x} (9 x^{2}) + e^{x} (- 18 x) + e^{x} \cdot 1}{{(9 x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.4.4

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} (9 x^{2}) + e^{x} (- 18 x)$ .

$\frac{e^{x} (9 x^{2} - 18 x) + e^{x} \cdot 1}{{(9 x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 4.4.5

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} (9 x^{2} - 18 x) + e^{x} \cdot 1$ .

$\frac{e^{x} (9 x^{2} - 18 x + 1)}{{(9 x^{2} + 1)}^{2}}$