Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{a x^{2} + b}{c x^{2} + d}$

Paso 1

Como $\frac{1}{c x^{2} + d}$ es constante con respecto a $a$ , la derivada de $\frac{a x^{2} + b}{c x^{2} + d}$ con respecto a $a$ es $\frac{1}{c x^{2} + d} \frac{d}{d a} [a x^{2} + b]$ .

$\frac{1}{c x^{2} + d} \frac{d}{d a} [a x^{2} + b]$

Paso 2

Según la regla de la suma, la derivada de $a x^{2} + b$ con respecto a $a$ es $\frac{d}{d a} [a x^{2}] + \frac{d}{d a} [b]$ .

$\frac{1}{c x^{2} + d} (\frac{d}{d a} [a x^{2}] + \frac{d}{d a} [b])$

Paso 3

Como $x^{2}$ es constante con respecto a $a$ , la derivada de $a x^{2}$ con respecto a $a$ es $x^{2} \frac{d}{d a} [a]$ .

$\frac{1}{c x^{2} + d} (x^{2} \frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [b])$

Paso 4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ es $n a^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{c x^{2} + d} (x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d a} [b])$

Paso 5

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{c x^{2} + d} (x^{2} + \frac{d}{d a} [b])$

Paso 6

Como $b$ es constante con respecto a $a$ , la derivada de $b$ con respecto a $a$ es $0$ .

$\frac{1}{c x^{2} + d} (x^{2} + 0)$

Paso 7

Combina fracciones.

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Paso 7.1

Suma $x^{2}$ y $0$ .

$\frac{1}{c x^{2} + d} x^{2}$

Paso 7.2

Combina $\frac{1}{c x^{2} + d}$ y $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{c x^{2} + d}$

Paso 7.3

Reordena los términos.

$\frac{x^{2}}{d + x^{2} c}$