Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{{(x + 4)}^{12}}{{(3 x - 9)}^{11}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = {(x + 4)}^{12}$ y $g (x) = {(3 x - 9)}^{11}$ .

$\frac{{(3 x - 9)}^{11} \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{12}] - {(x + 4)}^{12} \frac{d}{d x} [{(3 x - 9)}^{11}]}{{({(3 x - 9)}^{11})}^{2}}$

Paso 2

Multiplica los exponentes en ${({(3 x - 9)}^{11})}^{2}$ .

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Paso 2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(3 x - 9)}^{11} \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{12}] - {(x + 4)}^{12} \frac{d}{d x} [{(3 x - 9)}^{11}]}{{(3 x - 9)}^{11 \cdot 2}}$

Paso 2.2

Multiplica $11$ por $2$ .

$\frac{{(3 x - 9)}^{11} \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{12}] - {(x + 4)}^{12} \frac{d}{d x} [{(3 x - 9)}^{11}]}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{12}$ y $g (x) = x + 4$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x + 4$ .

$\frac{{(3 x - 9)}^{11} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{12}] \frac{d}{d x} [x + 4]) - {(x + 4)}^{12} \frac{d}{d x} [{(3 x - 9)}^{11}]}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 12$ .

$\frac{{(3 x - 9)}^{11} (12 {u_{1}}^{11} \frac{d}{d x} [x + 4]) - {(x + 4)}^{12} \frac{d}{d x} [{(3 x - 9)}^{11}]}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x + 4$ .

$\frac{{(3 x - 9)}^{11} (12 {(x + 4)}^{11} \frac{d}{d x} [x + 4]) - {(x + 4)}^{12} \frac{d}{d x} [{(3 x - 9)}^{11}]}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Mueve $12$ a la izquierda de ${(3 x - 9)}^{11}$ .

$\frac{12 \cdot {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11} \frac{d}{d x} [x + 4] - {(x + 4)}^{12} \frac{d}{d x} [{(3 x - 9)}^{11}]}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Paso 4.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{12 {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) - {(x + 4)}^{12} \frac{d}{d x} [{(3 x - 9)}^{11}]}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{12 {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11} (1 + \frac{d}{d x} [4]) - {(x + 4)}^{12} \frac{d}{d x} [{(3 x - 9)}^{11}]}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Paso 4.4

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{12 {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11} (1 + 0) - {(x + 4)}^{12} \frac{d}{d x} [{(3 x - 9)}^{11}]}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Paso 4.5

Simplifica la expresión.

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Paso 4.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{12 {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11} \cdot 1 - {(x + 4)}^{12} \frac{d}{d x} [{(3 x - 9)}^{11}]}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Paso 4.5.2

Multiplica $12$ por $1$ .

$\frac{12 {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11} - {(x + 4)}^{12} \frac{d}{d x} [{(3 x - 9)}^{11}]}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Paso 5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{11}$ y $g (x) = 3 x - 9$ .

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Paso 5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $3 x - 9$ .

$\frac{12 {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11} - {(x + 4)}^{12} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{11}] \frac{d}{d x} [3 x - 9])}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Paso 5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 11$ .

$\frac{12 {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11} - {(x + 4)}^{12} (11 {u_{2}}^{10} \frac{d}{d x} [3 x - 9])}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Paso 5.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $3 x - 9$ .

$\frac{12 {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11} - {(x + 4)}^{12} (11 {(3 x - 9)}^{10} \frac{d}{d x} [3 x - 9])}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Paso 6

Diferencia.

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Paso 6.1

Multiplica $11$ por $- 1$ .

$\frac{12 {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11} - 11 {(x + 4)}^{12} ({(3 x - 9)}^{10} \frac{d}{d x} [3 x - 9])}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Paso 6.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x - 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{12 {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11} - 11 {(x + 4)}^{12} ({(3 x - 9)}^{10} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]))}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Paso 6.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{12 {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11} - 11 {(x + 4)}^{12} ({(3 x - 9)}^{10} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]))}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Paso 6.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{12 {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11} - 11 {(x + 4)}^{12} ({(3 x - 9)}^{10} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]))}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Paso 6.5

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{12 {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11} - 11 {(x + 4)}^{12} ({(3 x - 9)}^{10} (3 + \frac{d}{d x} [- 9]))}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Paso 6.6

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{12 {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11} - 11 {(x + 4)}^{12} ({(3 x - 9)}^{10} (3 + 0))}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Paso 6.7

Simplifica la expresión.

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Paso 6.7.1

Suma $3$ y $0$ .

$\frac{12 {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11} - 11 {(x + 4)}^{12} ({(3 x - 9)}^{10} \cdot 3)}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Paso 6.7.2

Mueve $3$ a la izquierda de ${(3 x - 9)}^{10}$ .

$\frac{12 {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11} - 11 {(x + 4)}^{12} (3 \cdot {(3 x - 9)}^{10})}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Paso 6.7.3

Multiplica $3$ por $- 11$ .

$\frac{12 {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11} - 33 {(x + 4)}^{12} {(3 x - 9)}^{10}}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.1

Factoriza $3 {(3 x - 9)}^{10} {(x + 4)}^{11}$ de $12 {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11} - 33 {(x + 4)}^{12} {(3 x - 9)}^{10}$ .

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Paso 7.1.1.1

Factoriza $3 {(3 x - 9)}^{10} {(x + 4)}^{11}$ de $12 {(3 x - 9)}^{11} {(x + 4)}^{11}$ .

$\frac{3 {(3 x - 9)}^{10} {(x + 4)}^{11} (4 (3 x - 9)) - 33 {(x + 4)}^{12} {(3 x - 9)}^{10}}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Paso 7.1.1.2

Factoriza $3 {(3 x - 9)}^{10} {(x + 4)}^{11}$ de $- 33 {(x + 4)}^{12} {(3 x - 9)}^{10}$ .

$\frac{3 {(3 x - 9)}^{10} {(x + 4)}^{11} (4 (3 x - 9)) + 3 {(3 x - 9)}^{10} {(x + 4)}^{11} (- 11 (x + 4))}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Paso 7.1.1.3

Factoriza $3 {(3 x - 9)}^{10} {(x + 4)}^{11}$ de $3 {(3 x - 9)}^{10} {(x + 4)}^{11} (4 (3 x - 9)) + 3 {(3 x - 9)}^{10} {(x + 4)}^{11} (- 11 (x + 4))$ .

$\frac{3 {(3 x - 9)}^{10} {(x + 4)}^{11} (4 (3 x - 9) - 11 (x + 4))}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Paso 7.1.2

Factoriza $3$ de $3 x - 9$ .

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Paso 7.1.2.1

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$\frac{3 {(3 (x) - 9)}^{10} {(x + 4)}^{11} (4 (3 x - 9) - 11 (x + 4))}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Paso 7.1.2.2

Factoriza $3$ de $- 9$ .

$\frac{3 {(3 x + 3 \cdot - 3)}^{10} {(x + 4)}^{11} (4 (3 x - 9) - 11 (x + 4))}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Paso 7.1.2.3

Factoriza $3$ de $3 x + 3 \cdot - 3$ .

$\frac{3 {(3 (x - 3))}^{10} {(x + 4)}^{11} (4 (3 x - 9) - 11 (x + 4))}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Paso 7.1.3

Aplica la regla del producto a $3 (x - 3)$ .

$\frac{3 \cdot 3^{10} {(x - 3)}^{10} {(x + 4)}^{11} (4 (3 x - 9) - 11 (x + 4))}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Paso 7.1.4

Multiplica $3$ por $3^{10}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.1.4.1

Multiplica $3$ por $3^{10}$ .

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Paso 7.1.4.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3^{1} \cdot 3^{10} {(x - 3)}^{10} {(x + 4)}^{11} (4 (3 x - 9) - 11 (x + 4))}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Paso 7.1.4.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3^{1 + 10} {(x - 3)}^{10} {(x + 4)}^{11} (4 (3 x - 9) - 11 (x + 4))}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Paso 7.1.4.2

Suma $1$ y $10$ .

$\frac{3^{11} {(x - 3)}^{10} {(x + 4)}^{11} (4 (3 x - 9) - 11 (x + 4))}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Paso 7.1.5

Eleva $3$ a la potencia de $11$ .

$\frac{177147 {(x - 3)}^{10} {(x + 4)}^{11} (4 (3 x - 9) - 11 (x + 4))}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Paso 7.1.6

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{177147 {(x - 3)}^{10} {(x + 4)}^{11} (4 (3 x) + 4 \cdot - 9 - 11 (x + 4))}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Paso 7.1.6.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{177147 {(x - 3)}^{10} {(x + 4)}^{11} (12 x + 4 \cdot - 9 - 11 (x + 4))}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Paso 7.1.6.3

Multiplica $4$ por $- 9$ .

$\frac{177147 {(x - 3)}^{10} {(x + 4)}^{11} (12 x - 36 - 11 (x + 4))}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Paso 7.1.6.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{177147 {(x - 3)}^{10} {(x + 4)}^{11} (12 x - 36 - 11 x - 11 \cdot 4)}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Paso 7.1.6.5

Multiplica $- 11$ por $4$ .

$\frac{177147 {(x - 3)}^{10} {(x + 4)}^{11} (12 x - 36 - 11 x - 44)}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Paso 7.1.7

Resta $11 x$ de $12 x$ .

$\frac{177147 {(x - 3)}^{10} {(x + 4)}^{11} (x - 36 - 44)}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Paso 7.1.8

Resta $44$ de $- 36$ .

$\frac{177147 {(x - 3)}^{10} {(x + 4)}^{11} (x - 80)}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Paso 7.2

Reordena los términos.

$\frac{177147 {(x + 4)}^{11} {(x - 3)}^{10} (x - 80)}{{(3 x - 9)}^{22}}$

Paso 7.3

Simplifica el denominador.

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Paso 7.3.1

Factoriza $3$ de $3 x - 9$ .

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Paso 7.3.1.1

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$\frac{177147 {(x + 4)}^{11} {(x - 3)}^{10} (x - 80)}{{(3 (x) - 9)}^{22}}$

Paso 7.3.1.2

Factoriza $3$ de $- 9$ .

$\frac{177147 {(x + 4)}^{11} {(x - 3)}^{10} (x - 80)}{{(3 x + 3 \cdot - 3)}^{22}}$

Paso 7.3.1.3

Factoriza $3$ de $3 x + 3 \cdot - 3$ .

$\frac{177147 {(x + 4)}^{11} {(x - 3)}^{10} (x - 80)}{{(3 (x - 3))}^{22}}$

Paso 7.3.2

Aplica la regla del producto a $3 (x - 3)$ .

$\frac{177147 {(x + 4)}^{11} {(x - 3)}^{10} (x - 80)}{3^{22} {(x - 3)}^{22}}$

Paso 7.3.3

Eleva $3$ a la potencia de $22$ .

$\frac{177147 {(x + 4)}^{11} {(x - 3)}^{10} (x - 80)}{31381059609 {(x - 3)}^{22}}$

Paso 7.4

Cancela el factor común de $177147$ y $31381059609$ .

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Paso 7.4.1

Factoriza $177147$ de $177147 {(x + 4)}^{11} {(x - 3)}^{10} (x - 80)$ .

$\frac{177147 ({(x + 4)}^{11} {(x - 3)}^{10} (x - 80))}{31381059609 {(x - 3)}^{22}}$

Paso 7.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.4.2.1

Factoriza $177147$ de $31381059609 {(x - 3)}^{22}$ .

$\frac{177147 ({(x + 4)}^{11} {(x - 3)}^{10} (x - 80))}{177147 (177147 {(x - 3)}^{22})}$

Paso 7.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{177147 ({(x + 4)}^{11} {(x - 3)}^{10} (x - 80))}{177147 (177147 {(x - 3)}^{22})}$

Paso 7.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{{(x + 4)}^{11} {(x - 3)}^{10} (x - 80)}{177147 {(x - 3)}^{22}}$

Paso 7.5

Cancela el factor común de ${(x - 3)}^{10}$ y ${(x - 3)}^{22}$ .

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Paso 7.5.1

Factoriza ${(x - 3)}^{10}$ de ${(x + 4)}^{11} {(x - 3)}^{10} (x - 80)$ .

$\frac{{(x - 3)}^{10} ({(x + 4)}^{11} (x - 80))}{177147 {(x - 3)}^{22}}$

Paso 7.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.5.2.1

Factoriza ${(x - 3)}^{10}$ de $177147 {(x - 3)}^{22}$ .

$\frac{{(x - 3)}^{10} ({(x + 4)}^{11} (x - 80))}{{(x - 3)}^{10} (177147 {(x - 3)}^{12})}$

Paso 7.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{{(x - 3)}^{10} ({(x + 4)}^{11} (x - 80))}{{(x - 3)}^{10} (177147 {(x - 3)}^{12})}$

Paso 7.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{{(x + 4)}^{11} (x - 80)}{177147 {(x - 3)}^{12}}$