Cálculo Ejemplos

$f (x) = {(9 x^{2} + 7)}^{2}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = 9 x^{2} + 7$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $9 x^{2} + 7$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 7]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 7]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $9 x^{2} + 7$ .

$2 (9 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 7]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $9 x^{2} + 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$2 (9 x^{2} + 7) (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])$

Paso 2.2

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x^{2}$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (9 x^{2} + 7) (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 (9 x^{2} + 7) (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [7])$

Paso 2.4

Multiplica $2$ por $9$ .

$2 (9 x^{2} + 7) (18 x + \frac{d}{d x} [7])$

Paso 2.5

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 (9 x^{2} + 7) (18 x + 0)$

Paso 2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.6.1

Suma $18 x$ y $0$ .

$2 (9 x^{2} + 7) (18 x)$

Paso 2.6.2

Multiplica $18$ por $2$ .

$36 (9 x^{2} + 7) x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(36 (9 x^{2}) + 36 \cdot 7) x$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$36 (9 x^{2}) x + 36 \cdot 7 x$

Paso 3.3

Combina los términos.

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Paso 3.3.1

Multiplica $9$ por $36$ .

$324 x^{2} x + 36 \cdot 7 x$

Paso 3.3.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$324 (x^{1} x^{2}) + 36 \cdot 7 x$

Paso 3.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$324 x^{1 + 2} + 36 \cdot 7 x$

Paso 3.3.4

Suma $1$ y $2$ .

$324 x^{3} + 36 \cdot 7 x$

Paso 3.3.5

Multiplica $36$ por $7$ .

$324 x^{3} + 252 x$