Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{3 x}{{(2 - 5 x)}^{5}}$

Paso 1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{3 x}{{(2 - 5 x)}^{5}}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(2 - 5 x)}^{5}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(2 - 5 x)}^{5}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(2 - 5 x)}^{5}$ .

$3 \frac{{(2 - 5 x)}^{5} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 - 5 x)}^{5}]}{{({(2 - 5 x)}^{5})}^{2}}$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 3.1

Multiplica los exponentes en ${({(2 - 5 x)}^{5})}^{2}$ .

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Paso 3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{{(2 - 5 x)}^{5} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 - 5 x)}^{5}]}{{(2 - 5 x)}^{5 \cdot 2}}$

Paso 3.1.2

Multiplica $5$ por $2$ .

$3 \frac{{(2 - 5 x)}^{5} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 - 5 x)}^{5}]}{{(2 - 5 x)}^{10}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \frac{{(2 - 5 x)}^{5} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(2 - 5 x)}^{5}]}{{(2 - 5 x)}^{10}}$

Paso 3.3

Multiplica ${(2 - 5 x)}^{5}$ por $1$ .

$3 \frac{{(2 - 5 x)}^{5} - x \frac{d}{d x} [{(2 - 5 x)}^{5}]}{{(2 - 5 x)}^{10}}$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{5}$ y $g (x) = 2 - 5 x$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 - 5 x$ .

$3 \frac{{(2 - 5 x)}^{5} - x (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [2 - 5 x])}{{(2 - 5 x)}^{10}}$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$3 \frac{{(2 - 5 x)}^{5} - x (5 u^{4} \frac{d}{d x} [2 - 5 x])}{{(2 - 5 x)}^{10}}$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 - 5 x$ .

$3 \frac{{(2 - 5 x)}^{5} - x (5 {(2 - 5 x)}^{4} \frac{d}{d x} [2 - 5 x])}{{(2 - 5 x)}^{10}}$

Paso 5

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 5.1

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$3 \frac{{(2 - 5 x)}^{5} - 5 x ({(2 - 5 x)}^{4} \frac{d}{d x} [2 - 5 x])}{{(2 - 5 x)}^{10}}$

Paso 5.2

Factoriza ${(2 - 5 x)}^{4}$ de ${(2 - 5 x)}^{5} - 5 x ({(2 - 5 x)}^{4} \frac{d}{d x} [2 - 5 x])$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza ${(2 - 5 x)}^{4}$ de ${(2 - 5 x)}^{5}$ .

$3 \frac{{(2 - 5 x)}^{4} (2 - 5 x) - 5 x ({(2 - 5 x)}^{4} \frac{d}{d x} [2 - 5 x])}{{(2 - 5 x)}^{10}}$

Paso 5.2.2

Factoriza ${(2 - 5 x)}^{4}$ de $- 5 x ({(2 - 5 x)}^{4} \frac{d}{d x} [2 - 5 x])$ .

$3 \frac{{(2 - 5 x)}^{4} (2 - 5 x) + {(2 - 5 x)}^{4} (- 5 x (\frac{d}{d x} [2 - 5 x]))}{{(2 - 5 x)}^{10}}$

Paso 5.2.3

Factoriza ${(2 - 5 x)}^{4}$ de ${(2 - 5 x)}^{4} (2 - 5 x) + {(2 - 5 x)}^{4} (- 5 x (\frac{d}{d x} [2 - 5 x]))$ .

$3 \frac{{(2 - 5 x)}^{4} (2 - 5 x - 5 x (\frac{d}{d x} [2 - 5 x]))}{{(2 - 5 x)}^{10}}$

Paso 6

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.1

Factoriza ${(2 - 5 x)}^{4}$ de ${(2 - 5 x)}^{10}$ .

$3 \frac{{(2 - 5 x)}^{4} (2 - 5 x - 5 x (\frac{d}{d x} [2 - 5 x]))}{{(2 - 5 x)}^{4} {(2 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2

Cancela el factor común.

$3 \frac{{(2 - 5 x)}^{4} (2 - 5 x - 5 x (\frac{d}{d x} [2 - 5 x]))}{{(2 - 5 x)}^{4} {(2 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.3

Reescribe la expresión.

$3 \frac{2 - 5 x - 5 x (\frac{d}{d x} [2 - 5 x])}{{(2 - 5 x)}^{6}}$

Paso 7

Según la regla de la suma, la derivada de $2 - 5 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$3 \frac{2 - 5 x - 5 x (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x])}{{(2 - 5 x)}^{6}}$

Paso 8

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 \frac{2 - 5 x - 5 x (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x])}{{(2 - 5 x)}^{6}}$

Paso 9

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$3 \frac{2 - 5 x - 5 x \frac{d}{d x} [- 5 x]}{{(2 - 5 x)}^{6}}$

Paso 10

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{2 - 5 x - 5 x (- 5 \frac{d}{d x} [x])}{{(2 - 5 x)}^{6}}$

Paso 11

Multiplica $- 5$ por $- 5$ .

$3 \frac{2 - 5 x + 25 x \frac{d}{d x} [x]}{{(2 - 5 x)}^{6}}$

Paso 12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \frac{2 - 5 x + 25 x \cdot 1}{{(2 - 5 x)}^{6}}$

Paso 13

Simplifica los términos.

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Paso 13.1

Multiplica $25$ por $1$ .

$3 \frac{2 - 5 x + 25 x}{{(2 - 5 x)}^{6}}$

Paso 13.2

Suma $- 5 x$ y $25 x$ .

$3 \frac{2 + 20 x}{{(2 - 5 x)}^{6}}$

Paso 13.3

Combina $3$ y $\frac{2 + 20 x}{{(2 - 5 x)}^{6}}$ .

$\frac{3 (2 + 20 x)}{{(2 - 5 x)}^{6}}$

Paso 14

Simplifica.

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Paso 14.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 \cdot 2 + 3 (20 x)}{{(2 - 5 x)}^{6}}$

Paso 14.2

Simplifica cada término.

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Paso 14.2.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{6 + 3 (20 x)}{{(2 - 5 x)}^{6}}$

Paso 14.2.2

Multiplica $20$ por $3$ .

$\frac{6 + 60 x}{{(2 - 5 x)}^{6}}$

Paso 14.3

Reordena los términos.

$\frac{60 x + 6}{{(- 5 x + 2)}^{6}}$