Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{\sec (\frac{1}{x})}$

Paso 1

Reescribe $\sec (\frac{1}{x})$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{1}{\cos (\frac{1}{x})}}]$

Paso 2

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{\cos (\frac{1}{x})}$ .

$\frac{d}{d x} [1 \cos (\frac{1}{x})]$

Paso 3

Multiplica $\cos (\frac{1}{x})$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (\frac{1}{x})]$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 4.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{1}{x}$ .

$- \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 5

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 5.1

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$- \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- \sin (\frac{1}{x}) (- x^{- 2})$

Paso 5.3

Multiplica.

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Paso 5.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \sin (\frac{1}{x}) x^{- 2}$

Paso 5.3.2

Multiplica $\sin (\frac{1}{x})$ por $1$ .

$\sin (\frac{1}{x}) x^{- 2}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sin (\frac{1}{x}) \frac{1}{x^{2}}$

Paso 6.2

Combina $\sin (\frac{1}{x})$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\sin (\frac{1}{x})}{x^{2}}$