Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{10 \log_{4} (x)}{x}$

Paso 1

Como $10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{10 \log_{4} (x)}{x}$ con respecto a $x$ es $10 \frac{d}{d x} [\frac{\log_{4} (x)}{x}]$ .

$10 \frac{d}{d x} [\frac{\log_{4} (x)}{x}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = \log_{4} (x)$ y $g (x) = x$ .

$10 \frac{x \frac{d}{d x} [\log_{4} (x)] - \log_{4} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 3

La derivada de $\log_{4} (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x \ln (4)}$ .

$10 \frac{x \frac{1}{x \ln (4)} - \log_{4} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 4

Simplifica los términos.

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Paso 4.1

Combina $x$ y $\frac{1}{x \ln (4)}$ .

$10 \frac{\frac{x}{x \ln (4)} - \log_{4} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 4.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común.

$10 \frac{\frac{x}{x \ln (4)} - \log_{4} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 4.2.2

Reescribe la expresión.

$10 \frac{\frac{1}{\ln (4)} - \log_{4} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 5

Multiplica $\frac{\frac{1}{\ln (4)} - \log_{4} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$ por $\frac{\ln (4)}{\ln (4)}$ .

$10 (\frac{\ln (4)}{\ln (4)} \cdot \frac{\frac{1}{\ln (4)} - \log_{4} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}})$

Paso 6

Simplifica los términos.

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Paso 6.1

Combinar.

$10 \frac{\ln (4) (\frac{1}{\ln (4)} - \log_{4} (x) \frac{d}{d x} [x])}{\ln (4) x^{2}}$

Paso 6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$10 \frac{\ln (4) \frac{1}{\ln (4)} + \ln (4) (- \log_{4} (x) \frac{d}{d x} [x])}{\ln (4) x^{2}}$

Paso 6.3

Cancela el factor común de $\ln (4)$ .

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Paso 6.3.1

Cancela el factor común.

$10 \frac{\ln (4) \frac{1}{\ln (4)} + \ln (4) (- \log_{4} (x) \frac{d}{d x} [x])}{\ln (4) x^{2}}$

Paso 6.3.2

Reescribe la expresión.

$10 \frac{1 + \ln (4) (- \log_{4} (x) \frac{d}{d x} [x])}{\ln (4) x^{2}}$

Paso 7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$10 \frac{1 + \ln (4) (- \log_{4} (x) \cdot 1)}{\ln (4) x^{2}}$

Paso 8

Combina fracciones.

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Paso 8.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$10 \frac{1 + \ln (4) (- \log_{4} (x))}{\ln (4) x^{2}}$

Paso 8.2

Combina $10$ y $\frac{1 + \ln (4) (- \log_{4} (x))}{\ln (4) x^{2}}$ .

$\frac{10 (1 + \ln (4) (- \log_{4} (x)))}{\ln (4) x^{2}}$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{10 \cdot 1 + 10 (\ln (4) (- \log_{4} (x)))}{\ln (4) x^{2}}$

Paso 9.2

Simplifica el numerador.

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Paso 9.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.2.1.1

Multiplica $10$ por $1$ .

$\frac{10 + 10 (\ln (4) (- \log_{4} (x)))}{\ln (4) x^{2}}$

Paso 9.2.1.2

Multiplica $10 (\ln (4) (- \log_{4} (x)))$ .

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Paso 9.2.1.2.1

Reordena $\ln (4)$ y $10$ .

$\frac{10 + 10 \cdot \ln (4) (- \log_{4} (x))}{\ln (4) x^{2}}$

Paso 9.2.1.2.2

Simplifica $10 \cdot \ln (4)$ al mover $10$ dentro del algoritmo.

$\frac{10 + \ln (4^{10}) (- \log_{4} (x))}{\ln (4) x^{2}}$

Paso 9.2.1.3

Eleva $4$ a la potencia de $10$ .

$\frac{10 + \ln (1048576) (- \log_{4} (x))}{\ln (4) x^{2}}$

Paso 9.2.2

Reordena los factores en $10 + \ln (1048576) (- \log_{4} (x))$ .

$\frac{10 - \ln (1048576) \log_{4} (x)}{\ln (4) x^{2}}$

Paso 9.3

Reordena los términos.

$\frac{- \ln (1048576) \log_{4} (x) + 10}{x^{2} \ln (4)}$