Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt{x} + {(x + 4)}^{5}$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $\sqrt{x} + {(x + 4)}^{5}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{5}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{5}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{5}]$

Paso 2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{5}]$

Paso 2.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{5}]$

Paso 2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{5}]$

Paso 2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{5}]$

Paso 2.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{5}]$

Paso 2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{5}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{5}]$ .

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{5}$ y $g (x) = x + 4$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 4$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x + 4]$

Paso 3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 u^{4} \frac{d}{d x} [x + 4]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 4$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 {(x + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x + 4]$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 {(x + 4)}^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 {(x + 4)}^{4} (1 + \frac{d}{d x} [4])$

Paso 3.4

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 {(x + 4)}^{4} (1 + 0)$

Paso 3.5

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 {(x + 4)}^{4} \cdot 1$

Paso 3.6

Multiplica $5$ por $1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 {(x + 4)}^{4}$

Paso 4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 5 {(x + 4)}^{4}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Combina los términos.

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Paso 5.1.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 {(x + 4)}^{4}$

Paso 5.1.2

Para escribir $5 {(x + 4)}^{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 {(x + 4)}^{4} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.1.3

Combina $5 {(x + 4)}^{4}$ y $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{5 {(x + 4)}^{4} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 + 5 {(x + 4)}^{4} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.1.5

Multiplica $2$ por $5$ .

$\frac{1 + 10 {(x + 4)}^{4} x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.2

Reordena los términos.

$\frac{10 x^{\frac{1}{2}} {(x + 4)}^{4} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$