Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt{3 p} \cdot \sqrt[3]{x^{4}}$

Paso 1

Factoriza $x^{3}$ .

$\frac{d}{d p} [\sqrt{3 p} \cdot \sqrt[3]{x^{3} x}]$

Paso 2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{d}{d p} [\sqrt{3 p} \cdot (x \sqrt[3]{x})]$

Paso 3

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d p} [\sqrt{3 p} \cdot (x \cdot x^{\frac{1}{3}})]$

Paso 4

Multiplica $x$ por $x^{\frac{1}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1

Multiplica $x$ por $x^{\frac{1}{3}}$ .

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Paso 4.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d}{d p} [\sqrt{3 p} \cdot (x^{1} x^{\frac{1}{3}})]$

Paso 4.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d}{d p} [\sqrt{3 p} \cdot x^{1 + \frac{1}{3}}]$

Paso 4.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{d}{d p} [\sqrt{3 p} \cdot x^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}]$

Paso 4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d}{d p} [\sqrt{3 p} \cdot x^{\frac{3 + 1}{3}}]$

Paso 4.4

Suma $3$ y $1$ .

$\frac{d}{d p} [\sqrt{3 p} \cdot x^{\frac{4}{3}}]$

Paso 5

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3 p}$ como ${(3 p)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d p} [{(3 p)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{4}{3}}]$

Paso 5.2

Factoriza $3$ de $3 p$ .

$\frac{d}{d p} [{(3 (p))}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{4}{3}}]$

Paso 5.3

Aplica la regla del producto a $3 (p)$ .

$\frac{d}{d p} [3^{\frac{1}{2}} p^{\frac{1}{2}} x^{\frac{4}{3}}]$

Paso 6

Como $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{4}{3}}$ es constante con respecto a $p$ , la derivada de $3^{\frac{1}{2}} p^{\frac{1}{2}} x^{\frac{4}{3}}$ con respecto a $p$ es $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d p} [p^{\frac{1}{2}}]$ .

$3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d p} [p^{\frac{1}{2}}]$

Paso 7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ es $n p^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{4}{3}} (\frac{1}{2} p^{\frac{1}{2} - 1})$

Paso 8

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{4}{3}} (\frac{1}{2} p^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 9

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{4}{3}} (\frac{1}{2} p^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{4}{3}} (\frac{1}{2} p^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 11

Simplifica el numerador.

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Paso 11.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{4}{3}} (\frac{1}{2} p^{\frac{1 - 2}{2}})$

Paso 11.2

Resta $2$ de $1$ .

$3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{4}{3}} (\frac{1}{2} p^{\frac{- 1}{2}})$

Paso 12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{4}{3}} (\frac{1}{2} p^{- \frac{1}{2}})$

Paso 13

Combina $\frac{1}{2}$ y $p^{- \frac{1}{2}}$ .

$3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{4}{3}} \frac{p^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 14

Combina $3^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{p^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$x^{\frac{4}{3}} \frac{3^{\frac{1}{2}} p^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 15

Combina $x^{\frac{4}{3}}$ y $\frac{3^{\frac{1}{2}} p^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{4}{3}} (3^{\frac{1}{2}} p^{- \frac{1}{2}})}{2}$

Paso 16

Simplifica la expresión.

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Paso 16.1

Mueve $p^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x^{\frac{4}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{2 p^{\frac{1}{2}}}$

Paso 16.2

Reordena los términos.

$\frac{3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{4}{3}}}{2 p^{\frac{1}{2}}}$