Cálculo Ejemplos

$f (x) = \log_{3} (x + \sqrt{x})$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\log_{3} (x + x^{\frac{1}{2}})]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \log_{3} (x)$ y $g (x) = x + x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\log_{3} (u)] \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.2

La derivada de $\log_{3} (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u \ln (3)}$ .

$\frac{1}{u \ln (3)} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{(x + x^{\frac{1}{2}}) \ln (3)} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{(x + x^{\frac{1}{2}}) \ln (3)} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{(x + x^{\frac{1}{2}}) \ln (3)} (1 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{(x + x^{\frac{1}{2}}) \ln (3)} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Paso 4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{(x + x^{\frac{1}{2}}) \ln (3)} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{(x + x^{\frac{1}{2}}) \ln (3)} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{(x + x^{\frac{1}{2}}) \ln (3)} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{(x + x^{\frac{1}{2}}) \ln (3)} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Paso 7.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{(x + x^{\frac{1}{2}}) \ln (3)} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Paso 8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{(x + x^{\frac{1}{2}}) \ln (3)} (1 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Paso 9

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{(x + x^{\frac{1}{2}}) \ln (3)} (1 + \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Paso 10

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{(x + x^{\frac{1}{2}}) \ln (3)} (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{x \ln (3) + x^{\frac{1}{2}} \ln (3)} (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 11.2

Reordena los factores de $\frac{1}{x \ln (3) + x^{\frac{1}{2}} \ln (3)} (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ .

$(1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x \ln (3) + x^{\frac{1}{2}} \ln (3)}$

Paso 11.3

Factoriza $x^{\frac{1}{2}} \ln (3)$ de $x \ln (3) + x^{\frac{1}{2}} \ln (3)$ .

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Paso 11.3.1

Factoriza $x^{\frac{1}{2}} \ln (3)$ de $x \ln (3)$ .

$(1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (3) (x^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \ln (3)}$

Paso 11.3.2

Factoriza $x^{\frac{1}{2}} \ln (3)$ de $x^{\frac{1}{2}} \ln (3)$ .

$(1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (3) (x^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \ln (3) (1)}$

Paso 11.3.3

Factoriza $x^{\frac{1}{2}} \ln (3)$ de $x^{\frac{1}{2}} \ln (3) (x^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \ln (3) (1)$ .

$(1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}$

Paso 11.4

Multiplica $1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}$ .

$\frac{1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} \ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}$

Paso 11.5

Simplifica el numerador.

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Paso 11.5.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} \ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}$

Paso 11.5.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} \ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}$

Paso 11.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}$

Paso 11.7

Multiplica $\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}$ .

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Paso 11.7.1

Multiplica $\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} \ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1))}$

Paso 11.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} (\ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1))}$

Paso 11.7.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1 + 1}{2}} (\ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1))}$

Paso 11.7.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{2}{2}} (\ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1))}$

Paso 11.7.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 11.7.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{2}{2}} (\ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1))}$

Paso 11.7.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{1} (\ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1))}$

Paso 11.8

Simplifica el denominador.

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Paso 11.8.1

Reescribe.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} \ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1))}$

Paso 11.8.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} (\ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1))}$

Paso 11.8.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1 + 1}{2}} (\ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1))}$

Paso 11.8.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{2}{2}} (\ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1))}$

Paso 11.8.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 11.8.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{2}{2}} (\ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1))}$

Paso 11.8.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{1} (\ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1))}$

Paso 11.8.6

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{1} \ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}$

Paso 11.8.7

Simplifica.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x \ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}$