Cálculo Ejemplos

$f (x) = 5^{3} \sqrt{x^{4}} + \frac{2}{x^{2}} - \frac{1}{3 x^{3}}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la suma.

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Paso 1.1

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$\frac{d}{d x} [125 \sqrt{x^{4}} + \frac{2}{x^{2}} - \frac{1}{3 x^{3}}]$

Paso 1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $125 \sqrt{x^{4}} + \frac{2}{x^{2}} - \frac{1}{3 x^{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [125 \sqrt{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [125 \sqrt{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [125 \sqrt{x^{4}}]$ .

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{4}}$ como $x^{\frac{4}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [125 x^{\frac{4}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

Paso 2.2

Divide $4$ por $2$ .

$\frac{d}{d x} [125 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

Paso 2.3

Como $125$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $125 x^{2}$ con respecto a $x$ es $125 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$125 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$125 (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

Paso 2.5

Multiplica $2$ por $125$ .

$250 x + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$ .

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Paso 3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2}{x^{2}}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$250 x + 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

Paso 3.2

Reescribe $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$250 x + 2 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x^{2}$ .

$250 x + 2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$250 x + 2 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$250 x + 2 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$250 x + 2 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

Paso 3.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Paso 3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$250 x + 2 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

Paso 3.5.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$250 x + 2 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

Paso 3.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$250 x + 2 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

Paso 3.7

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$250 x + 2 (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

Paso 3.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$250 x + 2 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

Paso 3.9

Resta $4$ de $1$ .

$250 x + 2 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

Paso 3.10

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$250 x - 4 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

Paso 4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$ .

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Paso 4.1

Como $- \frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{1}{3 x^{3}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$250 x - 4 x^{- 3} - \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Paso 4.2

Reescribe $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$250 x - 4 x^{- 3} - \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{3}$ .

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Paso 4.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x^{3}$ .

$250 x - 4 x^{- 3} - \frac{1}{3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 4.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$250 x - 4 x^{- 3} - \frac{1}{3} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 4.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x^{3}$ .

$250 x - 4 x^{- 3} - \frac{1}{3} (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$250 x - 4 x^{- 3} - \frac{1}{3} (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Paso 4.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Paso 4.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$250 x - 4 x^{- 3} - \frac{1}{3} (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Paso 4.5.2

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$250 x - 4 x^{- 3} - \frac{1}{3} (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Paso 4.6

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$250 x - 4 x^{- 3} - \frac{1}{3} (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Paso 4.7

Multiplica $x^{- 6}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.7.1

Mueve $x^{2}$ .

$250 x - 4 x^{- 3} - \frac{1}{3} (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Paso 4.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$250 x - 4 x^{- 3} - \frac{1}{3} (- 3 x^{2 - 6})$

Paso 4.7.3

Resta $6$ de $2$ .

$250 x - 4 x^{- 3} - \frac{1}{3} (- 3 x^{- 4})$

Paso 4.8

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$250 x - 4 x^{- 3} + 3 (\frac{1}{3}) x^{- 4}$

Paso 4.9

Combina $3$ y $\frac{1}{3}$ .

$250 x - 4 x^{- 3} + \frac{3}{3} x^{- 4}$

Paso 4.10

Combina $\frac{3}{3}$ y $x^{- 4}$ .

$250 x - 4 x^{- 3} + \frac{3 x^{- 4}}{3}$

Paso 4.11

Mueve $x^{- 4}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$250 x - 4 x^{- 3} + \frac{3}{3 x^{4}}$

Paso 4.12

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.12.1

Cancela el factor común.

$250 x - 4 x^{- 3} + \frac{3}{3 x^{4}}$

Paso 4.12.2

Reescribe la expresión.

$250 x - 4 x^{- 3} + \frac{1}{x^{4}}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$250 x - 4 \frac{1}{x^{3}} + \frac{1}{x^{4}}$

Paso 5.2

Combina los términos.

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Paso 5.2.1

Combina $- 4$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$250 x + \frac{- 4}{x^{3}} + \frac{1}{x^{4}}$

Paso 5.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$250 x - \frac{4}{x^{3}} + \frac{1}{x^{4}}$