Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{72}{5} + \frac{48}{5 {(3 x + 1)}^{2}}$

Paso 1

Diferencia.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{72}{5} + \frac{48}{5 {(3 x + 1)}^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{72}{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{48}{5 {(3 x + 1)}^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{72}{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{48}{5 {(3 x + 1)}^{2}}]$

Paso 1.2

Como $\frac{72}{5}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{72}{5}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{48}{5 {(3 x + 1)}^{2}}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{48}{5 {(3 x + 1)}^{2}}]$ .

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Paso 2.1

Como $\frac{48}{5}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{48}{5 {(3 x + 1)}^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{48}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x + 1)}^{2}}]$ .

$0 + \frac{48}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x + 1)}^{2}}]$

Paso 2.2

Reescribe $\frac{1}{{(3 x + 1)}^{2}}$ como ${({(3 x + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

$0 + \frac{48}{5} \frac{d}{d x} [{({(3 x + 1)}^{2})}^{- 1}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = {(3 x + 1)}^{2}$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como ${(3 x + 1)}^{2}$ .

$0 + \frac{48}{5} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [{(3 x + 1)}^{2}])$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$0 + \frac{48}{5} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(3 x + 1)}^{2}])$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con ${(3 x + 1)}^{2}$ .

$0 + \frac{48}{5} (- {({(3 x + 1)}^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(3 x + 1)}^{2}])$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = 3 x + 1$ .

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Paso 2.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $3 x + 1$ .

$0 + \frac{48}{5} (- {({(3 x + 1)}^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [3 x + 1]))$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + \frac{48}{5} (- {({(3 x + 1)}^{2})}^{- 2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [3 x + 1]))$

Paso 2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $3 x + 1$ .

$0 + \frac{48}{5} (- {({(3 x + 1)}^{2})}^{- 2} (2 (3 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x + 1]))$

Paso 2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$0 + \frac{48}{5} (- {({(3 x + 1)}^{2})}^{- 2} (2 (3 x + 1) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1])))$

Paso 2.6

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + \frac{48}{5} (- {({(3 x + 1)}^{2})}^{- 2} (2 (3 x + 1) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])))$

Paso 2.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + \frac{48}{5} (- {({(3 x + 1)}^{2})}^{- 2} (2 (3 x + 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])))$

Paso 2.8

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{48}{5} (- {({(3 x + 1)}^{2})}^{- 2} (2 (3 x + 1) (3 \cdot 1 + 0)))$

Paso 2.9

Multiplica los exponentes en ${({(3 x + 1)}^{2})}^{- 2}$ .

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Paso 2.9.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 + \frac{48}{5} (- {(3 x + 1)}^{2 \cdot - 2} (2 (3 x + 1) (3 \cdot 1 + 0)))$

Paso 2.9.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$0 + \frac{48}{5} (- {(3 x + 1)}^{- 4} (2 (3 x + 1) (3 \cdot 1 + 0)))$

Paso 2.10

Multiplica $3$ por $1$ .

$0 + \frac{48}{5} (- {(3 x + 1)}^{- 4} (2 (3 x + 1) (3 + 0)))$

Paso 2.11

Suma $3$ y $0$ .

$0 + \frac{48}{5} (- {(3 x + 1)}^{- 4} (2 (3 x + 1) \cdot 3))$

Paso 2.12

Multiplica $3$ por $2$ .

$0 + \frac{48}{5} (- {(3 x + 1)}^{- 4} (6 (3 x + 1)))$

Paso 2.13

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$0 + \frac{48}{5} (- 6 {(3 x + 1)}^{- 4} (3 x + 1))$

Paso 2.14

Eleva $3 x + 1$ a la potencia de $1$ .

$0 + \frac{48}{5} (- 6 ({(3 x + 1)}^{1} {(3 x + 1)}^{- 4}))$

Paso 2.15

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$0 + \frac{48}{5} (- 6 {(3 x + 1)}^{1 - 4})$

Paso 2.16

Resta $4$ de $1$ .

$0 + \frac{48}{5} (- 6 {(3 x + 1)}^{- 3})$

Paso 2.17

Combina $- 6$ y $\frac{48}{5}$ .

$0 + \frac{- 6 \cdot 48}{5} {(3 x + 1)}^{- 3}$

Paso 2.18

Multiplica $- 6$ por $48$ .

$0 + \frac{- 288}{5} {(3 x + 1)}^{- 3}$

Paso 2.19

Combina $\frac{- 288}{5}$ y ${(3 x + 1)}^{- 3}$ .

$0 + \frac{- 288 {(3 x + 1)}^{- 3}}{5}$

Paso 2.20

Mueve ${(3 x + 1)}^{- 3}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{- 288}{5 {(3 x + 1)}^{3}}$

Paso 2.21

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$0 - \frac{288}{5 {(3 x + 1)}^{3}}$

Paso 3

Resta $\frac{288}{5 {(3 x + 1)}^{3}}$ de $0$ .

$- \frac{288}{5 {(3 x + 1)}^{3}}$