Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt[7]{9 x^{3}}$

Paso 1

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[7]{9 x^{3}}$ como ${(9 x^{3})}^{\frac{1}{7}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(9 x^{3})}^{\frac{1}{7}}]$

Paso 1.2

Factoriza $9$ de $9 x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [{(9 (x^{3}))}^{\frac{1}{7}}]$

Paso 1.3

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.3.1

Aplica la regla del producto a $9 (x^{3})$ .

$\frac{d}{d x} [9^{\frac{1}{7}} {(x^{3})}^{\frac{1}{7}}]$

Paso 1.3.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{\frac{1}{7}}$ .

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Paso 1.3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [9^{\frac{1}{7}} x^{3 (\frac{1}{7})}]$

Paso 1.3.2.2

Combina $3$ y $\frac{1}{7}$ .

$\frac{d}{d x} [9^{\frac{1}{7}} x^{\frac{3}{7}}]$

Paso 2

Como $9^{\frac{1}{7}}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9^{\frac{1}{7}} x^{\frac{3}{7}}$ con respecto a $x$ es $9^{\frac{1}{7}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{7}}]$ .

$9^{\frac{1}{7}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{7}}]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{7}$ .

$9^{\frac{1}{7}} (\frac{3}{7} x^{\frac{3}{7} - 1})$

Paso 4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{7}{7}$ .

$9^{\frac{1}{7}} (\frac{3}{7} x^{\frac{3}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}})$

Paso 5

Combina $- 1$ y $\frac{7}{7}$ .

$9^{\frac{1}{7}} (\frac{3}{7} x^{\frac{3}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}})$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$9^{\frac{1}{7}} (\frac{3}{7} x^{\frac{3 - 1 \cdot 7}{7}})$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$9^{\frac{1}{7}} (\frac{3}{7} x^{\frac{3 - 7}{7}})$

Paso 7.2

Resta $7$ de $3$ .

$9^{\frac{1}{7}} (\frac{3}{7} x^{\frac{- 4}{7}})$

Paso 8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$9^{\frac{1}{7}} (\frac{3}{7} x^{- \frac{4}{7}})$

Paso 9

Combina $\frac{3}{7}$ y $x^{- \frac{4}{7}}$ .

$9^{\frac{1}{7}} \frac{3 x^{- \frac{4}{7}}}{7}$

Paso 10

Combina $9^{\frac{1}{7}}$ y $\frac{3 x^{- \frac{4}{7}}}{7}$ .

$\frac{9^{\frac{1}{7}} (3 x^{- \frac{4}{7}})}{7}$

Paso 11

Simplifica la expresión.

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Paso 11.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{3 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{7}} x^{- \frac{4}{7}}}{7}$

Paso 11.2

Multiplica los exponentes en ${(3^{2})}^{\frac{1}{7}}$ .

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Paso 11.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \cdot 3^{2 (\frac{1}{7})} x^{- \frac{4}{7}}}{7}$

Paso 11.2.2

Combina $2$ y $\frac{1}{7}$ .

$\frac{3 \cdot 3^{\frac{2}{7}} x^{- \frac{4}{7}}}{7}$

Paso 12

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3^{1 + \frac{2}{7}} x^{- \frac{4}{7}}}{7}$

Paso 13

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{3^{\frac{7}{7} + \frac{2}{7}} x^{- \frac{4}{7}}}{7}$

Paso 14

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3^{\frac{7 + 2}{7}} x^{- \frac{4}{7}}}{7}$

Paso 15

Suma $7$ y $2$ .

$\frac{3^{\frac{9}{7}} x^{- \frac{4}{7}}}{7}$

Paso 16

Mueve $x^{- \frac{4}{7}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3^{\frac{9}{7}}}{7 x^{\frac{4}{7}}}$