Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x}{{(7 x - 6)}^{6}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(7 x - 6)}^{6}$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{6} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(7 x - 6)}^{6}]}{{({(7 x - 6)}^{6})}^{2}}$

Paso 2

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.1

Multiplica los exponentes en ${({(7 x - 6)}^{6})}^{2}$ .

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Paso 2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{6} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(7 x - 6)}^{6}]}{{(7 x - 6)}^{6 \cdot 2}}$

Paso 2.1.2

Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{6} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(7 x - 6)}^{6}]}{{(7 x - 6)}^{12}}$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{6} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(7 x - 6)}^{6}]}{{(7 x - 6)}^{12}}$

Paso 2.3

Multiplica ${(7 x - 6)}^{6}$ por $1$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{6} - x \frac{d}{d x} [{(7 x - 6)}^{6}]}{{(7 x - 6)}^{12}}$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{6}$ y $g (x) = 7 x - 6$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $7 x - 6$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{6} - x (\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d x} [7 x - 6])}{{(7 x - 6)}^{12}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{6} - x (6 u^{5} \frac{d}{d x} [7 x - 6])}{{(7 x - 6)}^{12}}$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $7 x - 6$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{6} - x (6 {(7 x - 6)}^{5} \frac{d}{d x} [7 x - 6])}{{(7 x - 6)}^{12}}$

Paso 4

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 4.1

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{6} - 6 x ({(7 x - 6)}^{5} \frac{d}{d x} [7 x - 6])}{{(7 x - 6)}^{12}}$

Paso 4.2

Factoriza ${(7 x - 6)}^{5}$ de ${(7 x - 6)}^{6} - 6 x ({(7 x - 6)}^{5} \frac{d}{d x} [7 x - 6])$ .

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Paso 4.2.1

Factoriza ${(7 x - 6)}^{5}$ de ${(7 x - 6)}^{6}$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{5} (7 x - 6) - 6 x ({(7 x - 6)}^{5} \frac{d}{d x} [7 x - 6])}{{(7 x - 6)}^{12}}$

Paso 4.2.2

Factoriza ${(7 x - 6)}^{5}$ de $- 6 x ({(7 x - 6)}^{5} \frac{d}{d x} [7 x - 6])$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{5} (7 x - 6) + {(7 x - 6)}^{5} (- 6 x (\frac{d}{d x} [7 x - 6]))}{{(7 x - 6)}^{12}}$

Paso 4.2.3

Factoriza ${(7 x - 6)}^{5}$ de ${(7 x - 6)}^{5} (7 x - 6) + {(7 x - 6)}^{5} (- 6 x (\frac{d}{d x} [7 x - 6]))$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{5} (7 x - 6 - 6 x (\frac{d}{d x} [7 x - 6]))}{{(7 x - 6)}^{12}}$

Paso 5

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.1

Factoriza ${(7 x - 6)}^{5}$ de ${(7 x - 6)}^{12}$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{5} (7 x - 6 - 6 x (\frac{d}{d x} [7 x - 6]))}{{(7 x - 6)}^{5} {(7 x - 6)}^{7}}$

Paso 5.2

Cancela el factor común.

$\frac{{(7 x - 6)}^{5} (7 x - 6 - 6 x (\frac{d}{d x} [7 x - 6]))}{{(7 x - 6)}^{5} {(7 x - 6)}^{7}}$

Paso 5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{7 x - 6 - 6 x (\frac{d}{d x} [7 x - 6])}{{(7 x - 6)}^{7}}$

Paso 6

Según la regla de la suma, la derivada de $7 x - 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{7 x - 6 - 6 x (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(7 x - 6)}^{7}}$

Paso 7

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{7 x - 6 - 6 x (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(7 x - 6)}^{7}}$

Paso 8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{7 x - 6 - 6 x (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(7 x - 6)}^{7}}$

Paso 9

Multiplica $7$ por $1$ .

$\frac{7 x - 6 - 6 x (7 + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(7 x - 6)}^{7}}$

Paso 10

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{7 x - 6 - 6 x (7 + 0)}{{(7 x - 6)}^{7}}$

Paso 11

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 11.1

Suma $7$ y $0$ .

$\frac{7 x - 6 - 6 x \cdot 7}{{(7 x - 6)}^{7}}$

Paso 11.2

Multiplica $7$ por $- 6$ .

$\frac{7 x - 6 - 42 x}{{(7 x - 6)}^{7}}$

Paso 11.3

Resta $42 x$ de $7 x$ .

$\frac{- 35 x - 6}{{(7 x - 6)}^{7}}$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Factoriza $- 1$ de $- 35 x$ .

$\frac{- (35 x) - 6}{{(7 x - 6)}^{7}}$

Paso 12.2

Reescribe $- 6$ como $- 1 (6)$ .

$\frac{- (35 x) - 1 (6)}{{(7 x - 6)}^{7}}$

Paso 12.3

Factoriza $- 1$ de $- (35 x) - 1 (6)$ .

$\frac{- (35 x + 6)}{{(7 x - 6)}^{7}}$

Paso 12.4

Reescribe $- (35 x + 6)$ como $- 1 (35 x + 6)$ .

$\frac{- 1 (35 x + 6)}{{(7 x - 6)}^{7}}$

Paso 12.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{35 x + 6}{{(7 x - 6)}^{7}}$