Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{2} \cot (x) - \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} \cot (x) - \frac{1}{x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2} \cot (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} \cot (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{2} \cot (x)]$ .

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \cot (x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \cot (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Paso 2.2

La derivada de $\cot (x)$ con respecto a $x$ es $- \csc^{2} (x)$ .

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = - 1$ y $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 3.2

Reescribe $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) - \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) - (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 3.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Paso 3.6

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Paso 3.6.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Paso 3.6.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Paso 3.7

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Paso 3.8

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) - (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Paso 3.9

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Paso 3.10

Resta $4$ de $1$ .

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Paso 3.11

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Paso 3.12

Multiplica $\frac{1}{x^{2}}$ por $0$ .

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) + 2 x^{- 3} + 0$

Paso 3.13

Suma $2 x^{- 3}$ y $0$ .

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) + 2 x^{- 3}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) + 2 \frac{1}{x^{3}}$

Paso 4.2

Combina $2$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) + \frac{2}{x^{3}}$

Paso 4.3

Reordena los términos.

$- x^{2} \csc^{2} (x) + 2 x \cot (x) + \frac{2}{x^{3}}$