Cálculo Ejemplos

$f (x) = x + \frac{108}{x^{2}}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $x + \frac{108}{x^{2}}$ no está definida.

$x = 0$

Paso 2

Considera la función racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ donde $n$ es el grado del numerador y $m$ es el grado del denominador.

1. Si $n < m$ , entonces el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

2. Si $n = m$ , entonces la asíntota horizontal es la línea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , entonces no hay asíntota horizontal (hay una asíntota oblicua).

Paso 3

Obtén $n$ y $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Paso 4

Como $n > m$ , no hay asíntota horizontal.

No hay asíntotas horizontales

Paso 5

Obtén la asíntota oblicua mediante la división polinómica.

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Paso 5.1

Combinar.

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Paso 5.1.1

Para escribir $x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{x \cdot x^{2}}{x^{2}} + \frac{108}{x^{2}}$

Paso 5.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x \cdot x^{2} + 108}{x^{2}}$

Paso 5.1.3

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1.3.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 5.1.3.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{1} x^{2} + 108}{x^{2}}$

Paso 5.1.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{1 + 2} + 108}{x^{2}}$

Paso 5.1.3.2

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{x^{3} + 108}{x^{2}}$

Paso 5.1.4

Simplifica.

$\frac{x^{3} + 108}{x^{2}}$

Paso 5.2

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$108$

Paso 5.3

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$108$

Paso 5.4

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$108$

$x^{3}$

$0$

Paso 5.5

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} + 0 + 0$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$108$

$x^{3}$

$0$

Paso 5.6

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

						$x$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$108$
					-	$x^{3}$	-	$0$	-	$0$
										$0$

Paso 5.7

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

						$x$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$108$
					-	$x^{3}$	-	$0$	-	$0$
										$0$	+	$108$

Paso 5.8

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$x + \frac{108}{x^{2}}$

Paso 5.9

La asíntota oblicua es la parte polinómica del resultado de la división larga.

$y = x$

Paso 6

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = 0$

No hay asíntotas horizontales

Asíntotas oblicuas: $y = x$

Paso 7