Cálculo Ejemplos

$2 (\sqrt{- 3 x + 5}) + 3$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 2 \sqrt{- 3 x + 5} d x + \int 3 d x$

Paso 2

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int \sqrt{- 3 x + 5} d x + \int 3 d x$

Paso 3

Sea $u = - 3 x + 5$ . Entonces $d u = - 3 d x$ , de modo que $- \frac{1}{3} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.1

Deja $u = - 3 x + 5$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $- 3 x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x + 5]$

Paso 3.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $- 3 x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Paso 3.1.3.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.1.3.3

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$- 3 + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 3.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 3.1.4.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 3 + 0$

Paso 3.1.4.2

Suma $- 3$ y $0$ .

$- 3$

Paso 3.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$2 \int \sqrt{u} \frac{1}{- 3} d u + \int 3 d x$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 \int \sqrt{u} (- \frac{1}{3}) d u + \int 3 d x$

Paso 4.2

Combina $\sqrt{u}$ y $\frac{1}{3}$ .

$2 \int - \frac{\sqrt{u}}{3} d u + \int 3 d x$

Paso 5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$2 (- \int \frac{\sqrt{u}}{3} d u) + \int 3 d x$

Paso 6

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 \int \frac{\sqrt{u}}{3} d u + \int 3 d x$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$- 2 (\frac{1}{3} \int \sqrt{u} d u) + \int 3 d x$

Paso 8

Simplifica la expresión.

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Paso 8.1

Simplifica.

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Paso 8.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 2$ .

$\frac{- 2}{3} \int \sqrt{u} d u + \int 3 d x$

Paso 8.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{3} \int \sqrt{u} d u + \int 3 d x$

Paso 8.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2}{3} \int u^{\frac{1}{2}} d u + \int 3 d x$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{2}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \int 3 d x$

Paso 10

Aplica la regla de la constante.

$- \frac{2}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + 3 x + C$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Simplifica.

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + 3 x + C$

Paso 11.2

Simplifica.

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Paso 11.2.1

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + 3 x + C$

Paso 11.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{4}{3 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + 3 x + C$

Paso 11.2.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$- \frac{4}{9} u^{\frac{3}{2}} + 3 x + C$

Paso 12

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 3 x + 5$ .

$- \frac{4}{9} {(- 3 x + 5)}^{\frac{3}{2}} + 3 x + C$