Cálculo Ejemplos

$\sqrt{3 x}$

Paso 1

Escribe $\sqrt{3 x}$ como una función.

$f (x) = \sqrt{3 x}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \sqrt{3 x} d x$

Paso 4

Sea $u = 3 x$ . Entonces $d u = 3 d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = 3 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 4.1.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Paso 4.1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$3$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \sqrt{u} \frac{1}{3} d u$

Paso 5

Combina $\sqrt{u}$ y $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} \int \sqrt{u} d u$

Paso 7

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Reescribe $\frac{1}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ como $\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 9.2

Simplifica.

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Paso 9.2.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 9.2.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{2}{9} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x$ .

$\frac{2}{9} {(3 x)}^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 11

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \sqrt{3 x}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{9} {(3 x)}^{\frac{3}{2}} + C$