Cálculo Ejemplos

$3 x {(2 x + 3)}^{- 0.5}$

Paso 1

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int x {(2 x + 3)}^{- 0.5} d x$

Paso 2

Sea $u_{1} = 2 x + 3$ . Entonces $d u_{1} = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 2.1

Deja $u_{1} = 2 x + 3$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $2 x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Paso 2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.1.4.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 2.1.4.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$3 \int (\frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2}) {u_{1}}^{- 0.5} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Combina $\frac{1}{2}$ y ${u_{1}}^{- 0.5}$ .

$3 \int (\frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2}) \frac{{u_{1}}^{- 0.5}}{2} d u_{1}$

Paso 3.2

Mueve ${u_{1}}^{- 0.5}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 \int (\frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2}) \frac{1}{2 {u_{1}}^{0.5}} d u_{1}$

Paso 4

Sea $u_{2} = 2 {u_{1}}^{0.5}$ . Entonces $d u_{2} = \frac{1}{{u_{1}}^{0.5}} d u_{1}$ , de modo que ${u_{1}}^{0.5} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 4.1

Deja $u_{2} = 2 {u_{1}}^{0.5}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $2 {u_{1}}^{0.5}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 {u_{1}}^{0.5}]$

Paso 4.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $2 {u_{1}}^{0.5}$ con respecto a $u_{1}$ es $2 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{0.5}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{0.5}]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 0.5$ .

$2 (0.5 {u_{1}}^{- 0.5})$

Paso 4.1.4

Multiplica.

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Paso 4.1.4.1

Multiplica $0.5$ por $2$ .

$1 {u_{1}}^{- 0.5}$

Paso 4.1.4.2

Multiplica ${u_{1}}^{- 0.5}$ por $1$ .

${u_{1}}^{- 0.5}$

Paso 4.1.5

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{u_{1}}^{0.5}}$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$3 \int (\frac{\frac{{u_{2}}^{2}}{4}}{2} - \frac{3}{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Reescribe $\frac{\frac{{u_{2}}^{2}}{4}}{2}$ como un producto.

$3 \int (\frac{{u_{2}}^{2}}{4} \cdot \frac{1}{2} - \frac{3}{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 5.2

Multiplica $\frac{{u_{2}}^{2}}{4}$ por $\frac{1}{2}$ .

$3 \int (\frac{{u_{2}}^{2}}{4 \cdot 2} - \frac{3}{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 5.3

Multiplica $4$ por $2$ .

$3 \int (\frac{{u_{2}}^{2}}{8} - \frac{3}{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$3 (\frac{1}{2} \int (\frac{{u_{2}}^{2}}{4} - 1 \cdot 3) \frac{1}{2} d u_{2})$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$3 (\frac{1}{2} \int (\frac{{u_{2}}^{2}}{4} - 3) \frac{1}{2} d u_{2})$

Paso 7.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $3$ .

$\frac{3}{2} \int (\frac{{u_{2}}^{2}}{4} - 3) \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 8

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{4} - 3 d u_{2})$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 2} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{4} - 3 d u_{2}$

Paso 9.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{3}{4} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{4} - 3 d u_{2}$

Paso 10

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{3}{4} (\int \frac{{u_{2}}^{2}}{4} d u_{2} + \int - 3 d u_{2})$

Paso 11

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{3}{4} (\frac{1}{4} \int {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int - 3 d u_{2})$

Paso 12

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{2}}^{2}$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{1}{4} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) + \int - 3 d u_{2})$

Paso 13

Aplica la regla de la constante.

$\frac{3}{4} (\frac{1}{4} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) - 3 u_{2} + C)$

Paso 14

Simplifica.

$\frac{3}{4} (\frac{{u_{2}}^{3}}{12} - 3 u_{2}) + C$

Paso 15

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 15.1

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 {u_{1}}^{0.5}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{{(2 {u_{1}}^{0.5})}^{3}}{12} - 3 (2 {u_{1}}^{0.5})) + C$

Paso 15.2

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x + 3$ .

$\frac{3}{4} (\frac{{(2 {(2 x + 3)}^{0.5})}^{3}}{12} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

Paso 16

Simplifica.

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Paso 16.1

Simplifica cada término.

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Paso 16.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 16.1.1.1

Aplica la regla del producto a $2 {(2 x + 3)}^{0.5}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{2^{3} {({(2 x + 3)}^{0.5})}^{3}}{12} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

Paso 16.1.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{3}{4} (\frac{8 {({(2 x + 3)}^{0.5})}^{3}}{12} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

Paso 16.1.1.3

Multiplica los exponentes en ${({(2 x + 3)}^{0.5})}^{3}$ .

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Paso 16.1.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{8 {(2 x + 3)}^{0.5 \cdot 3}}{12} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

Paso 16.1.1.3.2

Multiplica $0.5$ por $3$ .

$\frac{3}{4} (\frac{8 {(2 x + 3)}^{1.5}}{12} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

Paso 16.1.2

Cancela el factor común de $8$ y $12$ .

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Paso 16.1.2.1

Factoriza $4$ de $8 {(2 x + 3)}^{1.5}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{4 (2 {(2 x + 3)}^{1.5})}{12} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

Paso 16.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 16.1.2.2.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$\frac{3}{4} (\frac{4 (2 {(2 x + 3)}^{1.5})}{4 (3)} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

Paso 16.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3}{4} (\frac{4 (2 {(2 x + 3)}^{1.5})}{4 \cdot 3} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

Paso 16.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{4} (\frac{2 {(2 x + 3)}^{1.5}}{3} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

Paso 16.1.3

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$\frac{3}{4} (\frac{2 {(2 x + 3)}^{1.5}}{3} - 6 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

Paso 16.2

Para escribir $- 6 {(2 x + 3)}^{0.5}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{2 {(2 x + 3)}^{1.5}}{3} - 6 {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot \frac{3}{3}) + C$

Paso 16.3

Combina $- 6 {(2 x + 3)}^{0.5}$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{2 {(2 x + 3)}^{1.5}}{3} + \frac{- 6 {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot 3}{3}) + C$

Paso 16.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 3)}^{1.5} - 6 {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot 3}{3} + C$

Paso 16.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 16.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 3)}^{1.5} - 6 {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot 3}{3} + C$

Paso 16.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4} (2 {(2 x + 3)}^{1.5} - 6 {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot 3) + C$

Paso 16.6

Multiplica $3$ por $- 6$ .

$\frac{1}{4} (2 {(2 x + 3)}^{1.5} - 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

Paso 16.7

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{4} (2 {(2 x + 3)}^{1.5}) + \frac{1}{4} (- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

Paso 16.8

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 16.8.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{1}{2 (2)} (2 {(2 x + 3)}^{1.5}) + \frac{1}{4} (- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

Paso 16.8.2

Factoriza $2$ de $2 {(2 x + 3)}^{1.5}$ .

$\frac{1}{2 (2)} (2 ({(2 x + 3)}^{1.5})) + \frac{1}{4} (- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

Paso 16.8.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2 \cdot 2} (2 {(2 x + 3)}^{1.5}) + \frac{1}{4} (- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

Paso 16.8.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} {(2 x + 3)}^{1.5} + \frac{1}{4} (- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

Paso 16.9

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(2 x + 3)}^{1.5}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5}}{2} + \frac{1}{4} (- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

Paso 16.10

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 16.10.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5}}{2} + \frac{1}{2 (2)} (- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

Paso 16.10.2

Factoriza $2$ de $- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5}}{2} + \frac{1}{2 (2)} (2 (- 9 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

Paso 16.10.3

Cancela el factor común.

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5}}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2} (2 (- 9 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

Paso 16.10.4

Reescribe la expresión.

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5}}{2} + \frac{1}{2} (- 9 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

Paso 16.11

Combina $- 9$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5}}{2} + \frac{- 9}{2} {(2 x + 3)}^{0.5} + C$

Paso 16.12

Combina $\frac{- 9}{2}$ y ${(2 x + 3)}^{0.5}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5}}{2} + \frac{- 9 {(2 x + 3)}^{0.5}}{2} + C$

Paso 16.13

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5} - 9 {(2 x + 3)}^{0.5}}{2} + C$

Paso 16.14

Simplifica el numerador.

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Paso 16.14.1

Factoriza ${(2 x + 3)}^{0.5}$ de ${(2 x + 3)}^{1.5} - 9 {(2 x + 3)}^{0.5}$ .

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Paso 16.14.1.1

Factoriza ${(2 x + 3)}^{0.5}$ de ${(2 x + 3)}^{1.5}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} (2 x + 3) - 9 {(2 x + 3)}^{0.5}}{2} + C$

Paso 16.14.1.2

Factoriza ${(2 x + 3)}^{0.5}$ de $- 9 {(2 x + 3)}^{0.5}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} (2 x + 3) + {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot - 9}{2} + C$

Paso 16.14.1.3

Factoriza ${(2 x + 3)}^{0.5}$ de ${(2 x + 3)}^{0.5} (2 x + 3) + {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot - 9$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} (2 x + 3 - 9)}{2} + C$

Paso 16.14.2

Resta $9$ de $3$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} (2 x - 6)}{2} + C$

Paso 16.14.3

Factoriza $2$ de $2 x - 6$ .

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Paso 16.14.3.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} (2 (x) - 6)}{2} + C$

Paso 16.14.3.2

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} (2 x + 2 \cdot - 3)}{2} + C$

Paso 16.14.3.3

Factoriza $2$ de $2 x + 2 \cdot - 3$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} (2 (x - 3))}{2} + C$

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} \cdot 2 (x - 3)}{2} + C$

Paso 16.15

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 16.15.1

Cancela el factor común.

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} \cdot 2 (x - 3)}{2} + C$

Paso 16.15.2

Divide ${(2 x + 3)}^{0.5} (x - 3)$ por $1$ .

${(2 x + 3)}^{0.5} (x - 3) + C$

Paso 16.16

Aplica la propiedad distributiva.

${(2 x + 3)}^{0.5} x + {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot - 3 + C$

Paso 16.17

Mueve $- 3$ a la izquierda de ${(2 x + 3)}^{0.5}$ .

${(2 x + 3)}^{0.5} x - 3 \cdot {(2 x + 3)}^{0.5} + C$

Paso 16.18

Reordena los factores en ${(2 x + 3)}^{0.5} x - 3 {(2 x + 3)}^{0.5}$ .

$x {(2 x + 3)}^{0.5} - 3 {(2 x + 3)}^{0.5} + C$