Cálculo Ejemplos

$x^{2} e^{x - 1}$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x^{2}$ y $d v = e^{x - 1}$ .

$x^{2} e^{x - 1} - \int e^{x - 1} (2 x) d x$

Paso 2

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$x^{2} e^{x - 1} - (2 \int e^{x - 1} (x) d x)$

Paso 3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x^{2} e^{x - 1} - 2 \int e^{x - 1} (x) d x$

Paso 4

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{x - 1}$ .

$x^{2} e^{x - 1} - 2 (x e^{x - 1} - \int e^{x - 1} d x)$

Paso 5

Sea $u = x - 1$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = x - 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 5.1.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 5.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$x^{2} e^{x - 1} - 2 (x e^{x - 1} - \int e^{u} d u)$

Paso 6

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$x^{2} e^{x - 1} - 2 (x e^{x - 1} - (e^{u} + C))$

Paso 7

Reescribe $x^{2} e^{x - 1} - 2 (x e^{x - 1} - (e^{u} + C))$ como $x^{2} e^{x - 1} - 2 x e^{x - 1} + 2 e^{u} + C$ .

$x^{2} e^{x - 1} - 2 x e^{x - 1} + 2 e^{u} + C$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 1$ .

$x^{2} e^{x - 1} - 2 x e^{x - 1} + 2 e^{x - 1} + C$