Cálculo Ejemplos

$\tan^{6} (x)$

Paso 1

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 1.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\int {\tan (x)}^{2 (3)} d x$

Paso 1.2

Reescribe ${\tan (x)}^{2 (3)}$ como exponenciación.

$\int {(\tan^{2} (x))}^{3} d x$

Paso 2

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\tan^{2} (x)$ como $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\int {(- 1 + \sec^{2} (x))}^{3} d x$

Paso 3

Simplifica.

$\int - 1 + 3 \sec^{2} (x) - 3 \sec^{4} (x) + \sec^{6} (x) d x$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int - 1 d x + \int 3 \sec^{2} (x) d x + \int - 3 \sec^{4} (x) d x + \int \sec^{6} (x) d x$

Paso 5

Aplica la regla de la constante.

$- x + C + \int 3 \sec^{2} (x) d x + \int - 3 \sec^{4} (x) d x + \int \sec^{6} (x) d x$

Paso 6

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$- x + C + 3 \int \sec^{2} (x) d x + \int - 3 \sec^{4} (x) d x + \int \sec^{6} (x) d x$

Paso 7

Como la derivada de $\tan (x)$ es $\sec^{2} (x)$ , la integral de $\sec^{2} (x)$ es $\tan (x)$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) + \int - 3 \sec^{4} (x) d x + \int \sec^{6} (x) d x$

Paso 8

Dado que $- 3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 3$ fuera de la integral.

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 \int \sec^{4} (x) d x + \int \sec^{6} (x) d x$

Paso 9

Simplifica la expresión.

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Paso 9.1

Reescribe $4$ como $2$ más $2$

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 \int {\sec (x)}^{2 + 2} d x + \int \sec^{6} (x) d x$

Paso 9.2

Reescribe ${\sec (x)}^{2 + 2}$ como $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 \int \sec^{2} (x) \sec^{2} (x) d x + \int \sec^{6} (x) d x$

Paso 10

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\sec^{2} (x)$ como $1 + \tan^{2} (x)$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 \int (1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x) d x + \int \sec^{6} (x) d x$

Paso 11

Sea $u_{1} = \tan (x)$ . Entonces $d u_{1} = \sec^{2} (x) d x$ , de modo que $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 11.1

Deja $u_{1} = \tan (x)$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 11.1.1

Diferencia $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Paso 11.1.2

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Paso 11.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 \int 1 + {u_{1}}^{2} d u_{1} + \int \sec^{6} (x) d x$

Paso 12

Divide la única integral en varias integrales.

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (\int d u_{1} + \int {u_{1}}^{2} d u_{1}) + \int \sec^{6} (x) d x$

Paso 13

Aplica la regla de la constante.

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \int {u_{1}}^{2} d u_{1}) + \int \sec^{6} (x) d x$

Paso 14

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{1}}^{2}$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{3} {u_{1}}^{3}$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{1}{3} {u_{1}}^{3} + C) + \int \sec^{6} (x) d x$

Paso 15

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 15.1

Combina $\frac{1}{3}$ y ${u_{1}}^{3}$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int \sec^{6} (x) d x$

Paso 15.2

Simplifica la expresión.

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Paso 15.2.1

Reescribe $6$ como $4$ más $2$

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int {\sec (x)}^{4 + 2} d x$

Paso 15.2.2

Reescribe ${\sec (x)}^{4 + 2}$ como $\sec^{4} (x) \sec^{2} (x)$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int \sec^{4} (x) \sec^{2} (x) d x$

Paso 15.3

Factoriza $2$ de $4$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int {\sec (x)}^{2 (2)} \sec^{2} (x) d x$

Paso 15.4

Reescribe ${\sec (x)}^{2 (2)}$ como exponenciación.

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int {(\sec^{2} (x))}^{2} \sec^{2} (x) d x$

Paso 16

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\sec^{2} (x)$ como $1 + \tan^{2} (x)$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int {(1 + \tan^{2} (x))}^{2} \sec^{2} (x) d x$

Paso 17

Sea $u_{2} = \tan (x)$ . Entonces $d u_{2} = \sec^{2} (x) d x$ , de modo que $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 17.1

Deja $u_{2} = \tan (x)$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 17.1.1

Diferencia $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Paso 17.1.2

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Paso 17.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int {(1 + {u_{2}}^{2})}^{2} d u_{2}$

Paso 18

Expande ${(1 + {u_{2}}^{2})}^{2}$ .

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Paso 18.1

Reescribe ${(1 + {u_{2}}^{2})}^{2}$ como $(1 + {u_{2}}^{2}) (1 + {u_{2}}^{2})$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int (1 + {u_{2}}^{2}) (1 + {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

Paso 18.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int 1 (1 + {u_{2}}^{2}) + {u_{2}}^{2} (1 + {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

Paso 18.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int 1 \cdot 1 + 1 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} (1 + {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

Paso 18.4

Aplica la propiedad distributiva.

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int 1 \cdot 1 + 1 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} \cdot 1 + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Paso 18.5

Reordena ${u_{2}}^{2}$ y $1$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int 1 \cdot 1 + 1 {u_{2}}^{2} + 1 \cdot {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Paso 18.6

Multiplica $1$ por $1$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int 1 + 1 {u_{2}}^{2} + 1 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Paso 18.7

Multiplica ${u_{2}}^{2}$ por $1$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int 1 + {u_{2}}^{2} + 1 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Paso 18.8

Multiplica ${u_{2}}^{2}$ por $1$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int 1 + {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Paso 18.9

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int 1 + {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2 + 2} d u_{2}$

Paso 18.10

Suma $2$ y $2$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int 1 + {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Paso 18.11

Suma ${u_{2}}^{2}$ y ${u_{2}}^{2}$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int 1 + 2 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Paso 18.12

Reordena $2 {u_{2}}^{2}$ y ${u_{2}}^{4}$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int 1 + {u_{2}}^{4} + 2 {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Paso 18.13

Mueve $1$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int {u_{2}}^{4} + 2 {u_{2}}^{2} + 1 d u_{2}$

Paso 19

Divide la única integral en varias integrales.

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \int {u_{2}}^{4} d u_{2} + \int 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int d u_{2}$

Paso 20

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{2}}^{4}$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C + \int 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int d u_{2}$

Paso 21

Dado que $2$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C + 2 \int {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int d u_{2}$

Paso 22

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{2}}^{2}$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C + 2 (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) + \int d u_{2}$

Paso 23

Combina $\frac{1}{3}$ y ${u_{2}}^{3}$ .

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C + 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) + \int d u_{2}$

Paso 24

Aplica la regla de la constante.

$- x + C + 3 (\tan (x) + C) - 3 (u_{1} + C + \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C + 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) + u_{2} + C$

Paso 25

Simplifica.

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Paso 25.1

Simplifica.

$- x + 3 \tan (x) - 3 u_{1} - {u_{1}}^{3} + \frac{{u_{2}}^{5}}{5} + \frac{2 {u_{2}}^{3}}{3} + u_{2} + C$

Paso 25.2

Simplifica.

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Paso 25.2.1

Para escribir $- {u_{1}}^{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- x + 3 \tan (x) - 3 u_{1} + \frac{{u_{2}}^{5}}{5} - {u_{1}}^{3} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{3}}{3} + u_{2} + C$

Paso 25.2.2

Combina $- {u_{1}}^{3}$ y $\frac{3}{3}$ .

$- x + 3 \tan (x) - 3 u_{1} + \frac{{u_{2}}^{5}}{5} + \frac{- {u_{1}}^{3} \cdot 3}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{3}}{3} + u_{2} + C$

Paso 25.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- x + 3 \tan (x) - 3 u_{1} + \frac{{u_{2}}^{5}}{5} + \frac{- {u_{1}}^{3} \cdot 3 + 2 {u_{2}}^{3}}{3} + u_{2} + C$

Paso 25.2.4

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- x + 3 \tan (x) - 3 u_{1} + \frac{{u_{2}}^{5}}{5} + \frac{- 3 {u_{1}}^{3} + 2 {u_{2}}^{3}}{3} + u_{2} + C$

Paso 25.2.5

Suma $- 3 {u_{1}}^{3}$ y $2 {u_{2}}^{3}$ .

$- x + 3 \tan (x) - 3 u_{1} + \frac{{u_{2}}^{5}}{5} + \frac{- {u_{1}}^{3}}{3} + u_{2} + C$

Paso 25.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- x + 3 \tan (x) - 3 u_{1} + \frac{{u_{2}}^{5}}{5} - \frac{{u_{1}}^{3}}{3} + u_{2} + C$

Paso 25.2.7

Suma $- 3 u_{1}$ y $u_{2}$ .

$- x + 3 \tan (x) + \frac{{u_{2}}^{5}}{5} - \frac{{u_{1}}^{3}}{3} - 2 u_{1} + C$

Paso 26

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 26.1

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\tan (x)$ .

$- x + 3 \tan (x) + \frac{\tan^{5} (x)}{5} - \frac{{u_{1}}^{3}}{3} - 2 u_{1} + C$

Paso 26.2

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\tan (x)$ .

$- x + 3 \tan (x) + \frac{\tan^{5} (x)}{5} - \frac{\tan^{3} (x)}{3} - 2 \tan (x) + C$

Paso 27

Reordena los términos.

$- x + 3 \tan (x) + \frac{1}{5} \tan^{5} (x) - \frac{1}{3} \tan^{3} (x) - 2 \tan (x) + C$