Cálculo Ejemplos

$f (x) = \ln (2 - x^{2} + 2 x^{4})$ ; $x = 1$

Paso 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 1$ .

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Paso 1.1

Sustituye $1$ por $x$ .

$y = \ln (2 - {(1)}^{2} + 2 {(1)}^{4})$

Paso 1.2

Resuelve $y$

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Paso 1.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = \ln (2 - 1^{2} + 2 {(1)}^{4})$

Paso 1.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = \ln (2 - 1^{2} + 2 \cdot 1^{4})$

Paso 1.2.3

Elimina los paréntesis.

$y = \ln (2 - {(1)}^{2} + 2 {(1)}^{4})$

Paso 1.2.4

Simplifica $\ln (2 - {(1)}^{2} + 2 {(1)}^{4})$ .

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Paso 1.2.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$y = \ln (2 - 1 \cdot 1 + 2 {(1)}^{4})$

Paso 1.2.4.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$y = \ln (2 - 1 + 2 {(1)}^{4})$

Paso 1.2.4.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$y = \ln (2 - 1 + 2 \cdot 1)$

Paso 1.2.4.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \ln (2 - 1 + 2)$

Paso 1.2.4.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 1.2.4.2.1

Resta $1$ de $2$ .

$y = \ln (1 + 2)$

Paso 1.2.4.2.2

Suma $1$ y $2$ .

$y = \ln (3)$

Paso 2

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 1$ y $y = \ln (3)$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 2 - x^{2} + 2 x^{4}$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 - x^{2} + 2 x^{4}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 - x^{2} + 2 x^{4}]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 - x^{2} + 2 x^{4}]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 - x^{2} + 2 x^{4}$ .

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2} + 2 x^{4}]$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 - x^{2} + 2 x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ .

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Paso 2.2.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Paso 2.2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Paso 2.2.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Paso 2.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (- (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Paso 2.2.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (- 2 x + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Paso 2.2.7

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{4}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (- 2 x + 2 \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Paso 2.2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (- 2 x + 2 (4 x^{3}))$

Paso 2.2.9

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.9.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (- 2 x + 8 x^{3})$

Paso 2.2.9.2

Reordena los factores de $\frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}} (- 2 x + 8 x^{3})$ .

$(- 2 x + 8 x^{3}) \frac{1}{2 - x^{2} + 2 x^{4}}$

Paso 2.3

Evalúa la derivada en $x = 1$ .

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) (\frac{1}{2 - {(1)}^{2} + 2 {(1)}^{4}})$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Simplifica el denominador.

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Paso 2.4.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{2 - 1 \cdot 1 + 2 {(1)}^{4}}$

Paso 2.4.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{2 - 1 + 2 {(1)}^{4}}$

Paso 2.4.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{2 - 1 + 2 \cdot 1}$

Paso 2.4.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{2 - 1 + 2}$

Paso 2.4.1.5

Resta $1$ de $2$ .

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{1 + 2}$

Paso 2.4.1.6

Suma $1$ y $2$ .

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{3}$

Paso 2.4.2

Simplifica los términos.

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Paso 2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.2.1.1

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$(- 2 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{3}$

Paso 2.4.2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$(- 2 + 8 \cdot 1) \frac{1}{3}$

Paso 2.4.2.1.3

Multiplica $8$ por $1$ .

$(- 2 + 8) \frac{1}{3}$

Paso 2.4.2.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 2.4.2.2.1

Suma $- 2$ y $8$ .

$6 (\frac{1}{3})$

Paso 2.4.2.2.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.4.2.2.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$3 (2) \frac{1}{3}$

Paso 2.4.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$3 \cdot 2 \frac{1}{3}$

Paso 2.4.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$2$

Paso 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Usa la pendiente $2$ y un punto dado $(1, \ln (3))$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\ln (3)) = 2 \cdot (x - (1))$

Paso 3.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - \ln (3) = 2 \cdot (x - 1)$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Simplifica $2 \cdot (x - 1)$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe.

$y - \ln (3) = 0 + 0 + 2 \cdot (x - 1)$

Paso 3.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - \ln (3) = 2 \cdot (x - 1)$

Paso 3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - \ln (3) = 2 x + 2 \cdot - 1$

Paso 3.3.1.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y - \ln (3) = 2 x - 2$

Paso 3.3.2

Suma $\ln (3)$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 2 x - 2 + \ln (3)$

Paso 4