Cálculo Ejemplos

$(e^{- x} + 4 e^{2 x}) d x$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$\int e^{- x} + 4 e^{2 x} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int e^{- x} d x + \int 4 e^{2 x} d x$

Paso 3

Sea $u_{1} = - x$ . Entonces $d u_{1} = - d x$ , de modo que $- d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Deja $u_{1} = - x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1

Diferencia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Paso 3.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 3.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 3.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int - e^{u_{1}} d u_{1} + \int 4 e^{2 x} d x$

Paso 4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 4 e^{2 x} d x$

Paso 5

La integral de $e^{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $e^{u_{1}}$ .

$- (e^{u_{1}} + C) + \int 4 e^{2 x} d x$

Paso 6

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$- (e^{u_{1}} + C) + 4 \int e^{2 x} d x$

Paso 7

Sea $u_{2} = 2 x$ . Entonces $d u_{2} = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Deja $u_{2} = 2 x$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 7.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 7.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 7.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$- (e^{u_{1}} + C) + 4 \int e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 8

Combina $e^{u_{2}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$- (e^{u_{1}} + C) + 4 \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Paso 9

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- (e^{u_{1}} + C) + 4 (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Paso 10

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$- (e^{u_{1}} + C) + \frac{4}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 10.2

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$- (e^{u_{1}} + C) + \frac{2 \cdot 2}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 10.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$- (e^{u_{1}} + C) + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 10.2.2.2

Cancela el factor común.

$- (e^{u_{1}} + C) + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 10.2.2.3

Reescribe la expresión.

$- (e^{u_{1}} + C) + \frac{2}{1} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 10.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$- (e^{u_{1}} + C) + 2 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 11

La integral de $e^{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $e^{u_{2}}$ .

$- (e^{u_{1}} + C) + 2 (e^{u_{2}} + C)$

Paso 12

Simplifica.

$- e^{u_{1}} + 2 e^{u_{2}} + C$

Paso 13

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $- x$ .

$- e^{- x} + 2 e^{u_{2}} + C$

Paso 13.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 x$ .

$- e^{- x} + 2 e^{2 x} + C$