Cálculo Ejemplos

$\cos^{2} (2 x)$

Paso 1

Sea $u_{1} = 2 x$ . Entonces $d u_{1} = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{1} = 2 x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 1.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \cos^{2} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2

Combina $\cos^{2} (u_{1})$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Paso 4

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\cos^{2} (u_{1})$ como $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Paso 6.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{4} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Paso 7

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{4} (\int d u_{1} + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Paso 8

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{4} (u_{1} + C + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Paso 9

Sea $u_{2} = 2 u_{1}$ . Entonces $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 9.1

Deja $u_{2} = 2 u_{1}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 9.1.1

Diferencia $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Paso 9.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $2 u_{1}$ con respecto a $u_{1}$ es $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Paso 9.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 9.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 9.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{4} (u_{1} + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Paso 10

Combina $\cos (u_{2})$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (u_{1} + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Paso 11

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} (u_{1} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

Paso 12

La integral de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{4} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Paso 13

Simplifica.

$\frac{1}{4} (u_{1} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Paso 14

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 14.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x$ .

$\frac{1}{4} (2 x + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Paso 14.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 u_{1}$ .

$\frac{1}{4} (2 x + \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

Paso 14.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x$ .

$\frac{1}{4} (2 x + \frac{1}{2} \sin (2 (2 x))) + C$

Paso 15

Simplifica.

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Paso 15.1

Simplifica cada término.

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Paso 15.1.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{4} (2 x + \frac{1}{2} \sin (4 x)) + C$

Paso 15.1.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sin (4 x)$ .

$\frac{1}{4} (2 x + \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Paso 15.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{4} (2 x) + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2} + C$

Paso 15.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 15.3.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{1}{2 (2)} (2 x) + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2} + C$

Paso 15.3.2

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{1}{2 (2)} (2 (x)) + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2} + C$

Paso 15.3.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2 \cdot 2} (2 x) + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2} + C$

Paso 15.3.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2} + C$

Paso 15.4

Combina $\frac{1}{2}$ y $x$ .

$\frac{x}{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2} + C$

Paso 15.5

Multiplica $\frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2}$ .

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Paso 15.5.1

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{\sin (4 x)}{2}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{4 \cdot 2} + C$

Paso 15.5.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{8} + C$

Paso 16

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{8} \sin (4 x) + C$