Cálculo Ejemplos

${(e^{- 2 x} + 1)}^{3}$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Usa el teorema del binomio.

$\int {(e^{- 2 x})}^{3} + 3 {(e^{- 2 x})}^{2} \cdot 1 + 3 e^{- 2 x} \cdot 1^{2} + 1^{3} d x$

Paso 1.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1

Multiplica los exponentes en ${(e^{- 2 x})}^{3}$ .

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Paso 1.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int e^{- 2 x \cdot 3} + 3 {(e^{- 2 x})}^{2} \cdot 1 + 3 e^{- 2 x} \cdot 1^{2} + 1^{3} d x$

Paso 1.2.1.2

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$\int e^{- 6 x} + 3 {(e^{- 2 x})}^{2} \cdot 1 + 3 e^{- 2 x} \cdot 1^{2} + 1^{3} d x$

Paso 1.2.2

Multiplica los exponentes en ${(e^{- 2 x})}^{2}$ .

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Paso 1.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int e^{- 6 x} + 3 e^{- 2 x \cdot 2} \cdot 1 + 3 e^{- 2 x} \cdot 1^{2} + 1^{3} d x$

Paso 1.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\int e^{- 6 x} + 3 e^{- 4 x} \cdot 1 + 3 e^{- 2 x} \cdot 1^{2} + 1^{3} d x$

Paso 1.2.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$\int e^{- 6 x} + 3 e^{- 4 x} + 3 e^{- 2 x} \cdot 1^{2} + 1^{3} d x$

Paso 1.2.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\int e^{- 6 x} + 3 e^{- 4 x} + 3 e^{- 2 x} \cdot 1 + 1^{3} d x$

Paso 1.2.5

Multiplica $3$ por $1$ .

$\int e^{- 6 x} + 3 e^{- 4 x} + 3 e^{- 2 x} + 1^{3} d x$

Paso 1.2.6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\int e^{- 6 x} + 3 e^{- 4 x} + 3 e^{- 2 x} + 1 d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int e^{- 6 x} d x + \int 3 e^{- 4 x} d x + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

Paso 3

Sea $u_{1} = - 6 x$ . Entonces $d u_{1} = - 6 d x$ , de modo que $- \frac{1}{6} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 3.1

Deja $u_{1} = - 6 x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $- 6 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 x]$

Paso 3.1.2

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 x$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 6 \cdot 1$

Paso 3.1.4

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$- 6$

Paso 3.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{- 6} d u_{1} + \int 3 e^{- 4 x} d x + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int e^{u_{1}} (- \frac{1}{6}) d u_{1} + \int 3 e^{- 4 x} d x + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

Paso 4.2

Combina $e^{u_{1}}$ y $\frac{1}{6}$ .

$\int - \frac{e^{u_{1}}}{6} d u_{1} + \int 3 e^{- 4 x} d x + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

Paso 5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{e^{u_{1}}}{6} d u_{1} + \int 3 e^{- 4 x} d x + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{6}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{6}$ fuera de la integral.

$- (\frac{1}{6} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int 3 e^{- 4 x} d x + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

Paso 7

La integral de $e^{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $e^{u_{1}}$ .

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) + \int 3 e^{- 4 x} d x + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

Paso 8

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) + 3 \int e^{- 4 x} d x + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

Paso 9

Sea $u_{2} = - 4 x$ . Entonces $d u_{2} = - 4 d x$ , de modo que $- \frac{1}{4} d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 9.1

Deja $u_{2} = - 4 x$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 9.1.1

Diferencia $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

Paso 9.1.2

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 9.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Paso 9.1.4

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$- 4$

Paso 9.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) + 3 \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 4} d u_{2} + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) + 3 \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{4}) d u_{2} + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

Paso 10.2

Combina $e^{u_{2}}$ y $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) + 3 \int - \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2} + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

Paso 11

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) + 3 (- \int \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2}) + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

Paso 12

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - 3 \int \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2} + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

Paso 13

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - 3 (\frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2}) + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

Paso 14

Simplifica.

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Paso 14.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $- 3$ .

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) + \frac{- 3}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

Paso 14.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

Paso 15

La integral de $e^{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $e^{u_{2}}$ .

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} (e^{u_{2}} + C) + \int 3 e^{- 2 x} d x + \int d x$

Paso 16

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} (e^{u_{2}} + C) + 3 \int e^{- 2 x} d x + \int d x$

Paso 17

Sea $u_{3} = - 2 x$ . Entonces $d u_{3} = - 2 d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u_{3} = d x$ . Reescribe mediante $u_{3}$ y $d$ $u_{3}$ .

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Paso 17.1

Deja $u_{3} = - 2 x$ . Obtén $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

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Paso 17.1.1

Diferencia $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 17.1.2

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 17.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Paso 17.1.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 2$

Paso 17.2

Reescribe el problema mediante $u_{3}$ y $d u_{3}$ .

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} (e^{u_{2}} + C) + 3 \int e^{u_{3}} \frac{1}{- 2} d u_{3} + \int d x$

Paso 18

Simplifica.

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Paso 18.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} (e^{u_{2}} + C) + 3 \int e^{u_{3}} (- \frac{1}{2}) d u_{3} + \int d x$

Paso 18.2

Combina $e^{u_{3}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} (e^{u_{2}} + C) + 3 \int - \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3} + \int d x$

Paso 19

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{3}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} (e^{u_{2}} + C) + 3 (- \int \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3}) + \int d x$

Paso 20

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} (e^{u_{2}} + C) - 3 \int \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3} + \int d x$

Paso 21

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{3}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} (e^{u_{2}} + C) - 3 (\frac{1}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3}) + \int d x$

Paso 22

Simplifica.

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Paso 22.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 3$ .

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} (e^{u_{2}} + C) + \frac{- 3}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3} + \int d x$

Paso 22.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} (e^{u_{2}} + C) - \frac{3}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3} + \int d x$

Paso 23

La integral de $e^{u_{3}}$ con respecto a $u_{3}$ es $e^{u_{3}}$ .

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} (e^{u_{2}} + C) - \frac{3}{2} (e^{u_{3}} + C) + \int d x$

Paso 24

Aplica la regla de la constante.

$- \frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{3}{4} (e^{u_{2}} + C) - \frac{3}{2} (e^{u_{3}} + C) + x + C$

Paso 25

Simplifica.

$- \frac{1}{6} e^{u_{1}} - \frac{3}{4} e^{u_{2}} - \frac{3}{2} e^{u_{3}} + x + C$

Paso 26

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 26.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $- 6 x$ .

$- \frac{1}{6} e^{- 6 x} - \frac{3}{4} e^{u_{2}} - \frac{3}{2} e^{u_{3}} + x + C$

Paso 26.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $- 4 x$ .

$- \frac{1}{6} e^{- 6 x} - \frac{3}{4} e^{- 4 x} - \frac{3}{2} e^{u_{3}} + x + C$

Paso 26.3

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $- 2 x$ .

$- \frac{1}{6} e^{- 6 x} - \frac{3}{4} e^{- 4 x} - \frac{3}{2} e^{- 2 x} + x + C$