Cálculo Ejemplos

$(x^{2} - 1) d x - (y^{2} + x) d y$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int (x^{2} - 1) d x d x + \int - (y^{2} + x) d y d x$

Paso 2

Dado que $d$ es constante con respecto a $x$ , mueve $d$ fuera de la integral.

$d \int (x^{2} - 1) x d x + \int - (y^{2} + x) d y d x$

Paso 3

Multiplica $(x^{2} - 1) x$ .

$d \int x^{2} x - 1 x d x + \int - (y^{2} + x) d y d x$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 4.1.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$d \int x^{2} x^{1} - 1 x d x + \int - (y^{2} + x) d y d x$

Paso 4.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$d \int x^{2 + 1} - 1 x d x + \int - (y^{2} + x) d y d x$

Paso 4.1.2

Suma $2$ y $1$ .

$d \int x^{3} - 1 x d x + \int - (y^{2} + x) d y d x$

Paso 4.2

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$d \int x^{3} - x d x + \int - (y^{2} + x) d y d x$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$d (\int x^{3} d x + \int - x d x) + \int - (y^{2} + x) d y d x$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$d (\frac{1}{4} x^{4} + C + \int - x d x) + \int - (y^{2} + x) d y d x$

Paso 7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$d (\frac{1}{4} x^{4} + C - \int x d x) + \int - (y^{2} + x) d y d x$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$d (\frac{1}{4} x^{4} + C - (\frac{1}{2} x^{2} + C)) + \int - (y^{2} + x) d y d x$

Paso 9

Dado que $- d y$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- d y$ fuera de la integral.

$d (\frac{1}{4} x^{4} + C - (\frac{1}{2} x^{2} + C)) - d y \int y^{2} + x d x$

Paso 10

Divide la única integral en varias integrales.

$d (\frac{1}{4} x^{4} + C - (\frac{1}{2} x^{2} + C)) - d y (\int y^{2} d x + \int x d x)$

Paso 11

Aplica la regla de la constante.

$d (\frac{1}{4} x^{4} + C - (\frac{1}{2} x^{2} + C)) - d y (y^{2} x + C + \int x d x)$

Paso 12

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$d (\frac{1}{4} x^{4} + C - (\frac{1}{2} x^{2} + C)) - d y (y^{2} x + C + \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Simplifica.

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Paso 13.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$d (\frac{1}{4} x^{4} + C - (\frac{x^{2}}{2} + C)) - d y (y^{2} x + C + \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 13.1.2

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{4}$ .

$d (\frac{x^{4}}{4} + C - (\frac{x^{2}}{2} + C)) - d y (y^{2} x + C + \frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 13.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$d (\frac{x^{4}}{4} + C - (\frac{x^{2}}{2} + C)) - d y (y^{2} x + C + \frac{x^{2}}{2} + C)$

Paso 13.2

Simplifica.

$\frac{d x^{4}}{4} - d \frac{x^{2}}{2} - d y (y^{2} x + \frac{x^{2}}{2}) + C$

Paso 13.3

Simplifica.

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Paso 13.3.1

Combina $\frac{x^{2}}{2}$ y $d$ .

$\frac{d x^{4}}{4} - \frac{x^{2} d}{2} - d y (y^{2} x + \frac{x^{2}}{2}) + C$

Paso 13.3.2

Para escribir $- d y (y^{2} x + \frac{x^{2}}{2})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{x^{2} d}{2} + \frac{d x^{4}}{4} - d y (y^{2} x + \frac{x^{2}}{2}) \cdot \frac{4}{4} + C$

Paso 13.3.3

Combina $- d y (y^{2} x + \frac{x^{2}}{2})$ y $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{x^{2} d}{2} + \frac{d x^{4}}{4} + \frac{- d y (y^{2} x + \frac{x^{2}}{2}) \cdot 4}{4} + C$

Paso 13.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{x^{2} d}{2} + \frac{d x^{4} - d y (y^{2} x + \frac{x^{2}}{2}) \cdot 4}{4} + C$

Paso 13.3.5

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$- \frac{x^{2} d}{2} + \frac{d x^{4} - 4 d y (y^{2} x + \frac{x^{2}}{2})}{4} + C$

Paso 14

Reordena los términos.

$- \frac{1}{2} x^{2} d + \frac{1}{4} (d x^{4} - 4 d y (y^{2} x + \frac{1}{2} x^{2})) + C$