Cálculo Ejemplos

$\tan (x) \geq 1$

Paso 1

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$x \geq \arctan (1)$

Paso 2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1

El valor exacto de $\arctan (1)$ es $\frac{π}{4}$ .

$x \geq \frac{π}{4}$

Paso 3

La función tangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = π + \frac{π}{4}$

Paso 4

Simplifica $π + \frac{π}{4}$ .

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Paso 4.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Paso 4.2

Combina fracciones.

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Paso 4.2.1

Combina $π$ y $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Paso 4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Paso 4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.1

Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Paso 4.3.2

Suma $4 π$ y $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Paso 5

Obtén el período de $\tan (x)$ .

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Paso 5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 5.4

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 6

El período de la función $\tan (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 7

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 8

Obtén el dominio de $\tan (x) - 1$ .

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Paso 8.1

Establece el argumento en $\tan (x)$ igual que $\frac{π}{2} + π n$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 8.2

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

${x | x \neq \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 9

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$

$\frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{4}$

Paso 10

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 10.1

Prueba un valor en el intervalo $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.1.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 1$

Paso 10.1.2

Reemplaza $x$ con $1$ en la desigualdad original.

$\tan (1) \geq 1$

Paso 10.1.3

$1.55740772$ del lado izquierdo es mayor que $1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 10.2

Prueba un valor en el intervalo $\frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{4}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.2.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{4}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 3$

Paso 10.2.2

Reemplaza $x$ con $3$ en la desigualdad original.

$\tan (3) \geq 1$

Paso 10.2.3

$- 0.14254654$ del lado izquierdo es menor que $1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 10.3

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ Verdadero

$\frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{4}$ Falso

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ Verdadero

$\frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{4}$ Falso

Paso 11

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$\frac{π}{4} + π n \leq x < \frac{π}{2} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 12

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$[\frac{π}{4} + π n, \frac{π}{2} + π n)$

Paso 13