Cálculo Ejemplos

$12 x^{2} - 7 x - 12 < 0$

Paso 1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$12 x^{2} - 7 x - 12 = 0$

Paso 2

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 12 \cdot - 12 = - 144$ y cuya suma es $b = - 7$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $- 7$ de $- 7 x$ .

$12 x^{2} - 7 x - 12 = 0$

Paso 2.1.2

Reescribe $- 7$ como $9$ más $- 16$

$12 x^{2} + (9 - 16) x - 12 = 0$

Paso 2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$12 x^{2} + 9 x - 16 x - 12 = 0$

Paso 2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(12 x^{2} + 9 x) - 16 x - 12 = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$3 x (4 x + 3) - 4 (4 x + 3) = 0$

Paso 2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $4 x + 3$ .

$(4 x + 3) (3 x - 4) = 0$

Paso 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$4 x + 3 = 0$

$3 x - 4 = 0$

Paso 4

Establece $4 x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $4 x + 3$ igual a $0$ .

$4 x + 3 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $4 x + 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x = - 3$

Paso 4.2.2

Divide cada término en $4 x = - 3$ por $4$ y simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Divide cada término en $4 x = - 3$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 3}{4}$

Paso 4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 3}{4}$

Paso 4.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 3}{4}$

Paso 4.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{3}{4}$

Paso 5

Establece $3 x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $3 x - 4$ igual a $0$ .

$3 x - 4 = 0$

Paso 5.2

Resuelve $3 x - 4 = 0$ en $x$ .

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Paso 5.2.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = 4$

Paso 5.2.2

Divide cada término en $3 x = 4$ por $3$ y simplifica.

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Paso 5.2.2.1

Divide cada término en $3 x = 4$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Paso 5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Paso 5.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{4}{3}$

Paso 6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(4 x + 3) (3 x - 4) = 0$ verdadera.

$x = - \frac{3}{4}, \frac{4}{3}$

Paso 7

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - \frac{3}{4}$

$- \frac{3}{4} < x < \frac{4}{3}$

$x > \frac{4}{3}$

Paso 8

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 8.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - \frac{3}{4}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - \frac{3}{4}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 3$

Paso 8.1.2

Reemplaza $x$ con $- 3$ en la desigualdad original.

$12 {(- 3)}^{2} - 7 \cdot - 3 - 12 < 0$

Paso 8.1.3

$117$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 8.2

Prueba un valor en el intervalo $- \frac{3}{4} < x < \frac{4}{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.2.1

Elije un valor en el intervalo $- \frac{3}{4} < x < \frac{4}{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 8.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$12 {(0)}^{2} - 7 \cdot 0 - 12 < 0$

Paso 8.2.3

$- 12$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 8.3

Prueba un valor en el intervalo $x > \frac{4}{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > \frac{4}{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 8.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$12 {(4)}^{2} - 7 \cdot 4 - 12 < 0$

Paso 8.3.3

$152$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 8.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - \frac{3}{4}$ Falso

$- \frac{3}{4} < x < \frac{4}{3}$ Verdadero

$x > \frac{4}{3}$ Falso

$x < - \frac{3}{4}$ Falso

$- \frac{3}{4} < x < \frac{4}{3}$ Verdadero

$x > \frac{4}{3}$ Falso

Paso 9

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- \frac{3}{4} < x < \frac{4}{3}$

Paso 10

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- \frac{3}{4}, \frac{4}{3})$

Paso 11