Cálculo Ejemplos

$\frac{x - 4}{x^{2} + 2 x} < 0$

Paso 1

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x - 4 = 0$

$x^{2} + 2 x = 0$

Paso 2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 3

Factoriza $x$ de $x^{2} + 2 x$ .

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Paso 3.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$x \cdot x + 2 x = 0$

Paso 3.2

Factoriza $x$ de $2 x$ .

$x \cdot x + x \cdot 2 = 0$

Paso 3.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot 2$ .

$x (x + 2) = 0$

Paso 4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

Paso 5

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 6

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 6.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 7

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (x + 2) = 0$ verdadera.

$x = 0, - 2$

Paso 8

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 4$

$x = 0, - 2$

Paso 9

Consolida las soluciones.

$x = 4, 0, - 2$

Paso 10

Obtén el dominio de $\frac{x - 4}{x^{2} + 2 x}$ .

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Paso 10.1

Establece el denominador en $\frac{x - 4}{x^{2} + 2 x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} + 2 x = 0$

Paso 10.2

Resuelve $x$

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Paso 10.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2} + 2 x$ .

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Paso 10.2.1.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$x \cdot x + 2 x = 0$

Paso 10.2.1.2

Factoriza $x$ de $2 x$ .

$x \cdot x + x \cdot 2 = 0$

Paso 10.2.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot 2$ .

$x (x + 2) = 0$

Paso 10.2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

Paso 10.2.3

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 10.2.4

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 10.2.4.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 10.2.4.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 10.2.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (x + 2) = 0$ verdadera.

$x = 0, - 2$

Paso 10.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 11

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Paso 12

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 12.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 12.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$\frac{(- 4) - 4}{{(- 4)}^{2} + 2 (- 4)} < 0$

Paso 12.1.3

$- 1$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 12.2

Prueba un valor en el intervalo $- 2 < x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 2 < x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 1$

Paso 12.2.2

Reemplaza $x$ con $- 1$ en la desigualdad original.

$\frac{(- 1) - 4}{{(- 1)}^{2} + 2 (- 1)} < 0$

Paso 12.2.3

$5$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 12.3

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.3.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 12.3.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

$\frac{(2) - 4}{{(2)}^{2} + 2 (2)} < 0$

Paso 12.3.3

$- 0.25$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 12.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 12.4.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

$\frac{(6) - 4}{{(6)}^{2} + 2 (6)} < 0$

Paso 12.4.3

$0.041\overline{6}$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 12.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 2$ Verdadero

$- 2 < x < 0$ Falso

$0 < x < 4$ Verdadero

$x > 4$ Falso

$x < - 2$ Verdadero

$- 2 < x < 0$ Falso

$0 < x < 4$ Verdadero

$x > 4$ Falso

Paso 13

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - 2$ o $0 < x < 4$

Paso 14

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- \infty, - 2) \cup (0, 4)$

Paso 15