Cálculo Ejemplos

$\frac{2 x + 4}{3 x - 2} < 1$

Paso 1

Resta $1$ de ambos lados de la desigualdad.

$\frac{2 x + 4}{3 x - 2} - 1 < 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{2 x + 4}{3 x - 2} - 1$ .

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Paso 2.1

Factoriza $2$ de $2 x + 4$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{2 (x) + 4}{3 x - 2} - 1 < 0$

Paso 2.1.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 x + 2 \cdot 2}{3 x - 2} - 1 < 0$

Paso 2.1.3

Factoriza $2$ de $2 x + 2 \cdot 2$ .

$\frac{2 (x + 2)}{3 x - 2} - 1 < 0$

Paso 2.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3 x - 2}{3 x - 2}$ .

$\frac{2 (x + 2)}{3 x - 2} - 1 \cdot \frac{3 x - 2}{3 x - 2} < 0$

Paso 2.3

Combina $- 1$ y $\frac{3 x - 2}{3 x - 2}$ .

$\frac{2 (x + 2)}{3 x - 2} + \frac{- (3 x - 2)}{3 x - 2} < 0$

Paso 2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 (x + 2) - (3 x - 2)}{3 x - 2} < 0$

Paso 2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x + 2 \cdot 2 - (3 x - 2)}{3 x - 2} < 0$

Paso 2.5.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{2 x + 4 - (3 x - 2)}{3 x - 2} < 0$

Paso 2.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x + 4 - (3 x) - - 2}{3 x - 2} < 0$

Paso 2.5.4

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{2 x + 4 - 3 x - - 2}{3 x - 2} < 0$

Paso 2.5.5

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{2 x + 4 - 3 x + 2}{3 x - 2} < 0$

Paso 2.5.6

Resta $3 x$ de $2 x$ .

$\frac{- x + 4 + 2}{3 x - 2} < 0$

Paso 2.5.7

Suma $4$ y $2$ .

$\frac{- x + 6}{3 x - 2} < 0$

Paso 2.6

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{- (x) + 6}{3 x - 2} < 0$

Paso 2.7

Reescribe $6$ como $- 1 (- 6)$ .

$\frac{- (x) - 1 (- 6)}{3 x - 2} < 0$

Paso 2.8

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 6)$ .

$\frac{- (x - 6)}{3 x - 2} < 0$

Paso 2.9

Reescribe $- (x - 6)$ como $- 1 (x - 6)$ .

$\frac{- 1 (x - 6)}{3 x - 2} < 0$

Paso 2.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x - 6}{3 x - 2} < 0$

Paso 3

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x - 6 = 0$

$3 x - 2 = 0$

Paso 4

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 6$

Paso 5

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = 2$

Paso 6

Divide cada término en $3 x = 2$ por $3$ y simplifica.

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Paso 6.1

Divide cada término en $3 x = 2$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Paso 6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Paso 6.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Paso 7

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 6$

$x = \frac{2}{3}$

Paso 8

Consolida las soluciones.

$x = 6, \frac{2}{3}$

Paso 9

Obtén el dominio de $- \frac{x - 6}{3 x - 2}$ .

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Paso 9.1

Establece el denominador en $\frac{x - 6}{3 x - 2}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$3 x - 2 = 0$

Paso 9.2

Resuelve $x$

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Paso 9.2.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = 2$

Paso 9.2.2

Divide cada término en $3 x = 2$ por $3$ y simplifica.

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Paso 9.2.2.1

Divide cada término en $3 x = 2$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Paso 9.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 9.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Paso 9.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Paso 9.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, \frac{2}{3}) \cup (\frac{2}{3}, \infty)$

Paso 10

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < \frac{2}{3}$

$\frac{2}{3} < x < 6$

$x > 6$

Paso 11

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 11.1

Prueba un valor en el intervalo $x < \frac{2}{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < \frac{2}{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 11.1.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{2 (0) + 4}{3 (0) - 2} < 1$

Paso 11.1.3

$- 2$ del lado izquierdo es menor que $1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 11.2

Prueba un valor en el intervalo $\frac{2}{3} < x < 6$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.2.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{2}{3} < x < 6$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 3$

Paso 11.2.2

Reemplaza $x$ con $3$ en la desigualdad original.

$\frac{2 (3) + 4}{3 (3) - 2} < 1$

Paso 11.2.3

$1.\overline{428571}$ del lado izquierdo no es menor que $1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 11.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 6$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 6$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 8$

Paso 11.3.2

Reemplaza $x$ con $8$ en la desigualdad original.

$\frac{2 (8) + 4}{3 (8) - 2} < 1$

Paso 11.3.3

$0.\overline{90}$ del lado izquierdo es menor que $1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 11.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < \frac{2}{3}$ Verdadero

$\frac{2}{3} < x < 6$ Falso

$x > 6$ Verdadero

$x < \frac{2}{3}$ Verdadero

$\frac{2}{3} < x < 6$ Falso

$x > 6$ Verdadero

Paso 12

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < \frac{2}{3}$ o $x > 6$

Paso 13

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- \infty, \frac{2}{3}) \cup (6, \infty)$

Paso 14