Cálculo Ejemplos

$\frac{x}{y} - x^{2} = 1$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (\frac{x}{y} - x^{2}) = \frac{d}{d x} (1)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{x}{y} - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$\frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{y \cdot 1 - x y'}{y^{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 2.2.4

Multiplica $y$ por $1$ .

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{y - x y'}{y^{2}} - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{y - x y'}{y^{2}} - (2 x)$

Paso 2.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{y - x y'}{y^{2}} - 2 x$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Combina los términos.

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Paso 2.4.1.1

Para escribir $- 2 x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{y - x y'}{y^{2}} - 2 x \cdot \frac{y^{2}}{y^{2}}$

Paso 2.4.1.2

Combina $- 2 x$ y $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{- 2 x y^{2}}{y^{2}}$

Paso 2.4.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{y - x y' - 2 x y^{2}}{y^{2}}$

Paso 2.4.2

Reordena los términos.

$\frac{- x y' - 2 y^{2} x + y}{y^{2}}$

Paso 3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$\frac{- x y' - 2 y^{2} x + y}{y^{2}} = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Establece el numerador igual a cero.

$- x y' - 2 y^{2} x + y = 0$

Paso 5.2

Resuelve la ecuación en $y'$ .

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Paso 5.2.1

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.2.1.1

Suma $2 y^{2} x$ a ambos lados de la ecuación.

$- x y' + y = 2 y^{2} x$

Paso 5.2.1.2

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$- x y' = 2 y^{2} x - y$

Paso 5.2.2

Divide cada término en $- x y' = 2 y^{2} x - y$ por $- x$ y simplifica.

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Paso 5.2.2.1

Divide cada término en $- x y' = 2 y^{2} x - y$ por $- x$ .

$\frac{- x y'}{- x} = \frac{2 y^{2} x}{- x} + \frac{- y}{- x}$

Paso 5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x y'}{x} = \frac{2 y^{2} x}{- x} + \frac{- y}{- x}$

Paso 5.2.2.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.2.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y'}{x} = \frac{2 y^{2} x}{- x} + \frac{- y}{- x}$

Paso 5.2.2.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{2 y^{2} x}{- x} + \frac{- y}{- x}$

Paso 5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.2.3.1.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.2.2.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{2 y^{2} x}{- x} + \frac{- y}{- x}$

Paso 5.2.2.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{2 y^{2}}{- 1} + \frac{- y}{- x}$

Paso 5.2.2.3.1.1.3

Mueve el negativo del denominador de $\frac{2 y^{2}}{- 1}$ .

$y' = - 1 \cdot (2 y^{2}) + \frac{- y}{- x}$

Paso 5.2.2.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot (2 y^{2})$ como $- (2 y^{2})$ .

$y' = - (2 y^{2}) + \frac{- y}{- x}$

Paso 5.2.2.3.1.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y' = - 2 y^{2} + \frac{- y}{- x}$

Paso 5.2.2.3.1.4

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$y' = - 2 y^{2} + \frac{y}{x}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 y^{2} + \frac{y}{x}$